Калькулятор Геометрического Распределения

О Калькулятор Геометрического Распределения

Калькулятор геометрического распределения вычисляет точные вероятности количества независимых испытаний Бернулли, необходимых для достижения первого успеха. Введите вероятность успеха в одном испытании и номер испытания (или количество неудач), чтобы мгновенно получить точечную и кумулятивную вероятности, пошаговые решения, анимированную визуализацию последовательности, графики PMF/CDF и полную таблицу распределения. Поддерживаются обе параметризации — по номеру испытания и по количеству неудач до успеха.

Что такое геометрическое распределение?

Геометрическое распределение — это дискретное распределение вероятностей, которое моделирует количество независимых испытаний, необходимых для получения первого успеха в последовательности испытаний Бернулли. Каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха p и вероятность неудачи q = 1 − p. Оно является дискретным аналогом экспоненциального распределения и является единственным дискретным распределением со свойством отсутствия памяти.

Две стандартные параметризации

Геометрическое распределение имеет две стандартные формы, что часто вызывает путаницу. Этот калькулятор поддерживает обе:

• Параметризация по испытаниям (X): X считает номер испытания, на котором происходит первый успех. X принимает значения 1, 2, 3, … и P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p. Среднее значение (математическое ожидание) равно 1/p.
• Параметризация по неудачам (Y): Y считает количество неудач до первого успеха. Y принимает значения 0, 1, 2, … и P(Y = k) = (1 − p)^k × p. Среднее значение равно (1 − p)/p. Обратите внимание, что Y = X − 1.

Формула PMF (функции вероятности)

Для параметризации по испытаниям (по умолчанию в этом калькуляторе):

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p, для k = 1, 2, 3, …

Логика проста: первые (k − 1) испытаний должны быть неудачными (каждое с вероятностью 1 − p), а k-е испытание должно быть успешным (вероятность p). Поскольку испытания независимы, мы перемножаем эти вероятности.

CDF (Кумулятивная функция распределения)

CDF имеет простую формулу:

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

Это дает вероятность того, что первый успех произойдет в течение первых k испытаний. Это эквивалентно 1 минус вероятность того, что все k испытаний закончатся неудачей.

Среднее, дисперсия и другие показатели

• Среднее значение (Математическое ожидание): E[X] = 1/p — в среднем требуется 1/p испытаний для получения первого успеха.
• Дисперсия: Var(X) = (1 − p) / p² — дисперсия выше, когда p мало (успех случается редко).
• Стандартное отклонение: σ = √((1 − p) / p²)
• Медиана: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — наименьшее k, при котором P(X ≤ k) ≥ 0.5.
• Мода: Всегда 1 — наиболее вероятным исходом является успех на самом первом испытании.
• Коэффициент асимметрии: (2 − p) / √(1 − p) — всегда положительный (правосторонняя асимметрия).

Свойство отсутствия памяти

Геометрическое распределение — единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Это означает, что если вы уже потерпели неудачу s раз, вероятность того, что потребуется еще как минимум t испытаний, такая же, как если бы вы начинали заново. Прошлые неудачи не меняют будущие вероятности — что логично, так как каждое испытание независимо.

Распространенные применения

• Подбрасывание монеты — сколько раз нужно бросить до первого «орла»? При p = 0.5 ожидаемое число бросков равно 2.
• Продажи и маркетинг — сколько «холодных» звонков нужно до первой продажи? Если конверсия 5%, ожидайте в среднем 20 звонков.
• Контроль качества — сколько изделий нужно проверить до обнаружения первого дефекта? Моделирует время ожидания редких событий.
• Азартные игры — сколько раз нужно бросить кубик до выпадения шестерки? При p = 1/6 ожидаемое число бросков равно 6.
• Надежность сетей — сколько пакетов нужно отправить до успешной передачи? Моделирует протоколы повторной передачи в компьютерных сетях.
• Генетика — сколько потомков должно появиться до рождения особи с определенным признаком?

Связь с другими распределениями

• Отрицательное биномиальное: Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального при r = 1 (ожидание ровно 1 успеха).
• Экспоненциальное: Геометрическое распределение — дискретный аналог непрерывного экспоненциального распределения. Оба обладают свойством отсутствия памяти.
• Бернулли: Каждое испытание следует распределению Бернулли.

Как пользоваться этим калькулятором

1. Введите вероятность успеха (p) в одном испытании. Значение должно быть в диапазоне от 0 (исключая) до 1 (включая).
2. Выберите параметризацию: номер испытания (k = 1, 2, 3, …) или количество неудач (k = 0, 1, 2, …).
3. Введите значение k.
4. Нажмите "Рассчитать вероятность", чтобы увидеть точные и кумулятивные значения, пошаговые решения, последовательность испытаний и графики.
5. Используйте кнопки быстрых сценариев для мгновенного изучения популярных примеров.

Часто задаваемые вопросы

Для чего используется геометрическое распределение?

Оно моделирует количество попыток до первого успеха. Оно отвечает на вопрос: «Сколько раз мне придется пробовать, прежде чем я добьюсь успеха?» при условии, что каждая попытка имеет одинаковую вероятность. Оно применяется в анализе продаж, проверке качества, сетевых технологиях и генетике.

В чем разница между двумя параметризациями?

Параметризация по испытаниям считает номер попытки первого успеха (начиная с 1), а параметризация по неудачам считает количество провалов перед успехом (начиная с 0). Они различаются ровно на 1: если X — номер испытания, то Y = X − 1 — это количество неудач. Оба метода дают одинаковое значение вероятности для соответствующих k.

Что такое отсутствие памяти?

Это означает, что прошлые неудачи не влияют на вероятность успеха в будущем. Если вы подбросили честную монету 10 раз и не получили «орла», вероятность получить его на 11-й раз все равно равна 0.5 — монета не «помнит» прошлые броски.

Почему мода всегда равна 1?

Мода всегда равна 1 (или 0 в параметризации по неудачам), потому что наиболее вероятный одиночный исход — это успех на самой первой попытке (вероятность p). Каждое последующее испытание имеет строго меньшую вероятность, так как оно требует совершения как минимум одной предварительной ошибки.