Какова формула геометрического распределения?

В параметризации по количеству испытаний P(X = k) = (1 - p)^(k-1) * p, где k — номер испытания (1, 2, 3, ...). В параметризации по количеству неудач P(Y = k) = (1 - p)^k * p, где k — число неудач (0, 1, 2, ...) до первого успеха.

Каковы математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения?

Для испытаний (X) среднее значение равно 1/p, а дисперсия — (1-p)/p^2. Для неудач (Y) среднее значение равно (1-p)/p, а дисперсия — (1-p)/p^2.

Что такое свойство отсутствия памяти в геометрическом распределении?

Это означает, что вероятность того, что потребуется еще k испытаний до первого успеха, остается неизменной независимо от того, сколько неудачных попыток уже было совершено. Математически: P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

Когда следует использовать геометрическое распределение?

Используйте его для моделирования количества независимых попыток с постоянной вероятностью до наступления первого успеха. Примеры: количество бросков монеты до первого 'орла', количество звонков до первой продажи или число проверок до обнаружения первого дефекта.

Калькулятор Геометрического Распределения

Рассчитайте вероятность геометрического распределения для количества испытаний до первого успеха. Введите вероятность успеха в одном испытании и номер испытания, чтобы получить точные значения PMF, CDF, кумулятивные вероятности, пошаговые решения, интерактивные графики PMF/CDF и анимированную визуализацию последовательности испытаний.

📌 Попробуйте сценарий:

k = Номер испытания (1, 2, 3, …) k = Неудачи до успеха (0, 1, 2, …)

Введите номер испытания, на котором происходит первый успех

p — Вероятность успеха Вероятность в одном испытании (0 < p ≤ 1)

k — Номер испытания Испытание с первым успехом (k ≥ 1)

Embed Калькулятор Геометрического Распределения Widget

О Калькулятор Геометрического Распределения

Калькулятор геометрического распределения вычисляет точные вероятности количества независимых испытаний Бернулли, необходимых для достижения первого успеха. Введите вероятность успеха в одном испытании и номер испытания (или количество неудач), чтобы мгновенно получить точечную и кумулятивную вероятности, пошаговые решения, анимированную визуализацию последовательности, графики PMF/CDF и полную таблицу распределения. Поддерживаются обе параметризации — по номеру испытания и по количеству неудач до успеха.

Что такое геометрическое распределение?

Геометрическое распределение — это дискретное распределение вероятностей, которое моделирует количество независимых испытаний, необходимых для получения первого успеха в последовательности испытаний Бернулли. Каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха p и вероятность неудачи q = 1 − p. Оно является дискретным аналогом экспоненциального распределения и является единственным дискретным распределением со свойством отсутствия памяти.

Две стандартные параметризации

Геометрическое распределение имеет две стандартные формы, что часто вызывает путаницу. Этот калькулятор поддерживает обе:

Параметризация по испытаниям (X): X считает номер испытания, на котором происходит первый успех. X принимает значения 1, 2, 3, … и P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p. Среднее значение (математическое ожидание) равно 1/p.
Параметризация по неудачам (Y): Y считает количество неудач до первого успеха. Y принимает значения 0, 1, 2, … и P(Y = k) = (1 − p)^k × p. Среднее значение равно (1 − p)/p. Обратите внимание, что Y = X − 1.

Формула PMF (функции вероятности)

Для параметризации по испытаниям (по умолчанию в этом калькуляторе):

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p, для k = 1, 2, 3, …

Логика проста: первые (k − 1) испытаний должны быть неудачными (каждое с вероятностью 1 − p), а k-е испытание должно быть успешным (вероятность p). Поскольку испытания независимы, мы перемножаем эти вероятности.

CDF (Кумулятивная функция распределения)

CDF имеет простую формулу:

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

Это дает вероятность того, что первый успех произойдет в течение первых k испытаний. Это эквивалентно 1 минус вероятность того, что все k испытаний закончатся неудачей.

Среднее, дисперсия и другие показатели

Среднее значение (Математическое ожидание): E[X] = 1/p — в среднем требуется 1/p испытаний для получения первого успеха.
Дисперсия: Var(X) = (1 − p) / p² — дисперсия выше, когда p мало (успех случается редко).
Стандартное отклонение: σ = √((1 − p) / p²)
Медиана: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — наименьшее k, при котором P(X ≤ k) ≥ 0.5.
Мода: Всегда 1 — наиболее вероятным исходом является успех на самом первом испытании.
Коэффициент асимметрии: (2 − p) / √(1 − p) — всегда положительный (правосторонняя асимметрия).

Свойство отсутствия памяти

Геометрическое распределение — единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Это означает, что если вы уже потерпели неудачу s раз, вероятность того, что потребуется еще как минимум t испытаний, такая же, как если бы вы начинали заново. Прошлые неудачи не меняют будущие вероятности — что логично, так как каждое испытание независимо.

Распространенные применения

Подбрасывание монеты — сколько раз нужно бросить до первого «орла»? При p = 0.5 ожидаемое число бросков равно 2.
Продажи и маркетинг — сколько «холодных» звонков нужно до первой продажи? Если конверсия 5%, ожидайте в среднем 20 звонков.
Контроль качества — сколько изделий нужно проверить до обнаружения первого дефекта? Моделирует время ожидания редких событий.
Азартные игры — сколько раз нужно бросить кубик до выпадения шестерки? При p = 1/6 ожидаемое число бросков равно 6.
Надежность сетей — сколько пакетов нужно отправить до успешной передачи? Моделирует протоколы повторной передачи в компьютерных сетях.
Генетика — сколько потомков должно появиться до рождения особи с определенным признаком?

Связь с другими распределениями

Отрицательное биномиальное: Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального при r = 1 (ожидание ровно 1 успеха).
Экспоненциальное: Геометрическое распределение — дискретный аналог непрерывного экспоненциального распределения. Оба обладают свойством отсутствия памяти.
Бернулли: Каждое испытание следует распределению Бернулли.

Как пользоваться этим калькулятором

Введите вероятность успеха (p) в одном испытании. Значение должно быть в диапазоне от 0 (исключая) до 1 (включая).
Выберите параметризацию: номер испытания (k = 1, 2, 3, …) или количество неудач (k = 0, 1, 2, …).
Введите значение k.
Нажмите "Рассчитать вероятность", чтобы увидеть точные и кумулятивные значения, пошаговые решения, последовательность испытаний и графики.
Используйте кнопки быстрых сценариев для мгновенного изучения популярных примеров.

Часто задаваемые вопросы

Для чего используется геометрическое распределение?

Оно моделирует количество попыток до первого успеха. Оно отвечает на вопрос: «Сколько раз мне придется пробовать, прежде чем я добьюсь успеха?» при условии, что каждая попытка имеет одинаковую вероятность. Оно применяется в анализе продаж, проверке качества, сетевых технологиях и генетике.

В чем разница между двумя параметризациями?

Параметризация по испытаниям считает номер попытки первого успеха (начиная с 1), а параметризация по неудачам считает количество провалов перед успехом (начиная с 0). Они различаются ровно на 1: если X — номер испытания, то Y = X − 1 — это количество неудач. Оба метода дают одинаковое значение вероятности для соответствующих k.

Что такое отсутствие памяти?

Это означает, что прошлые неудачи не влияют на вероятность успеха в будущем. Если вы подбросили честную монету 10 раз и не получили «орла», вероятность получить его на 11-й раз все равно равна 0.5 — монета не «помнит» прошлые броски.

Почему мода всегда равна 1?

Мода всегда равна 1 (или 0 в параметризации по неудачам), потому что наиболее вероятный одиночный исход — это успех на самой первой попытке (вероятность p). Каждое последующее испытание имеет строго меньшую вероятность, так как оно требует совершения как минимум одной предварительной ошибки.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор Геометрического Распределения" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-геометрического-распределения/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 2026-04-14

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.