Калькулятор Z-преобразования

Калькулятор Z-преобразования преобразует дискретные временные последовательности в \(X(z)\) и разлагает рациональные преобразования обратно в каузальные отсчеты. Он предназначен для цифровой обработки сигналов, систем управления, рекуррентных соотношений, разностных уравнений и анализа фильтров, где картина полюсов и нулей и область сходимости так же важны, как и алгебраическая формула.

Формула Z-преобразования

Этот инструмент по умолчанию использует одностороннее соглашение. Для обратных преобразований он переписывает входные данные как рациональную функцию от \(q=z^{-1}\), разлагает \(X(q)=N(q)/D(q)\) и считывает коэффициент при \(q^n\) как \(x[n]\).

Поддерживаемые входные данные

Как пользоваться

1. Выберите направление преобразования. Выберите прямое Z-преобразование для последовательности x[n] или обратное Z-преобразование для рационального X(z).
2. Введите последовательность или преобразование. Для прямых преобразований введите формулу, такую как 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) или список конечных отсчетов. Для обратных преобразований введите рациональное выражение, такое как 1/(1 - 0.5*z^-1).
3. Установите количество отсчетов. Выберите, сколько отсчетов x[n] отображать в таблице и на гистограмме.
4. Нажмите Вычислить. Калькулятор вернет выражение Z-преобразования, каузальную область сходимости (ROC), полюса, нули, первые отсчеты и примечания к вычислениям.
5. Изучите z-плоскость. Используйте диаграмму z-плоскости для проверки расположения полюсов, нулей и привязки к единичной окружности.

Общие пары Z-преобразования

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое Z-преобразование?

Z-преобразование преобразует дискретную временную последовательность x[n] в функцию комплексной области X(z) = Σ x[n]z^-n. Оно является дискретным аналогом преобразования Лапласа и широко используется в цифровых фильтрах, анализе сигналов, системах управления и рекуррентных соотношениях.

Что такое область сходимости?

Область сходимости (ROC) — это набор значений z, для которых бесконечная сумма Z-преобразования сходится. Для правосторонних каузальных последовательностей ROC находится вне самого внешнего полюса, поэтому она имеет вид |z| больше радиуса полюса.

Какое обратное Z-преобразование возвращает этот калькулятор?

Этот калькулятор возвращает каузальное одностороннее обратное Z-преобразование. Он разлагает X(z) в степенной ряд по q = z^-1, так что коэффициент при q^n является отображаемым отсчетом x[n].

Можно ли вводить такие выражения, как z/(z-a)?

Да. Парсер принимает выражения в z-области, такие как z/(z-0.5), а также обозначение q, где q = z^-1, и прямое обозначение z^-1, например 1/(1 - 0.5*z^-1).

Какие формулы последовательностей поддерживаются для прямых преобразований?

Прямой режим поддерживает списки конечных отсчетов и распространенные правосторонние формулы, включая константы, a^n, n*a^n, n^2*a^n, sin(ωn), cos(ωn), затухающие синусоиды, u[n] и delta[n-k].

Ссылки

• Z-преобразование — Википедия
• Диаграмма полюсов и нулей — Википедия
• Цифровой фильтр — Википедия