Калькулятор объёма тела вращения

Вычислите объём тела вращения, используя методы дисков, шайб и цилиндрических оболочек. Введите функцию, пределы интегрирования и ось вращения, чтобы получить пошаговое решение с интерактивной 3D-визуализацией.

Попробуйте:

⊚ Диск π∫[f(x)]² dx ◎ Шайба π∫[R²−r²] dx ◌ Оболочка 2π∫x·f(x) dx

ПРЕДПРОСМОТР КРИВОЙ

📐 Функции

f(x) — внешняя / основная функция

Поддерживаются: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e

g(x) — внутренняя функция (для метода шайб)

Вращается область между f(x) и g(x)

📏 Границы интегрирования

Нижняя граница (a)

Верхняя граница (b)

🔄 Ось вращения

Ось

Значение оси

y = k (диск/шайба) или x = k (оболочка)

Embed Калькулятор объёма тела вращения Widget

О Калькулятор объёма тела вращения

Калькулятор объёма тела вращения вычисляет объём трехмерного твердого тела, образованного вращением двухмерной области вокруг оси. Это одно из самых важных применений интегрального исчисления, широко используемое в технике, физике и производстве для определения объёмов объектов с осевой симметрией — от цилиндров двигателя до спутниковых тарелок.

Три метода расчета

⊚

Метод дисков

Складывает бесконечно тонкие круговые диски перпендикулярно оси. Лучше всего подходит для одиночных кривых, вращаемых вокруг оси x: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)

◎

Метод шайб

Похож на метод дисков, но с отверстием. Для областей между двумя кривыми: \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)

◌

Метод оболочек

Оборачивает цилиндрические оболочки вокруг оси. Идеально подходит для вращения вокруг оси y: \( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \)

Как использовать Калькулятор объёма тела вращения

Выберите метод — выберите «Диск», «Шайба» или «Оболочка» в зависимости от вашей задачи.
Введите функцию(и) — введите вашу функцию f(x), используя стандартную математическую нотацию (например, x^2, sqrt(x), sin(x)). Для метода шайб также введите внутреннюю функцию g(x).
Установите границы — введите нижнюю (a) и верхнюю (b) границы интегрирования.
Выберите ось вращения — выберите ось x, ось y или введите значение для пользовательской оси.
Нажмите «Рассчитать объём» — просмотрите результат с пошаговыми формулами MathJax, интерактивной 3D-визуализацией и сравнением всех трех методов.

Когда использовать каждый метод

Сценарий	Лучший метод	Почему
Одиночная кривая вращается вокруг оси x	Диск	Самая простая настройка — нужна только f(x)
Область между двумя кривыми вращается вокруг оси x	Шайба	Естественным образом обрабатывает внешний и внутренний радиусы
Кривая вращается вокруг оси y	Оболочка	Позволяет избежать инвертирования f(x) для выражения x как функции от y
Функцию трудно инвертировать	Оболочка	Нет необходимости выражать x через y
Ось вращения горизонтальна	Диск/Шайба	Диски перпендикулярны горизонтальной оси
Ось вращения вертикальна	Оболочка	Оболочки естественным образом оборачиваются вокруг вертикальной оси

Распространенные примеры

Форма	Функция	Границы	Объём
Конус	f(x) = x	[0, r]	\( \frac{1}{3}\pi r^3 \)
Сфера	f(x) = √(r² − x²)	[−r, r]	\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)
Параболоид	f(x) = √x	[0, h]	\( \frac{1}{2}\pi h^2 \)
Тор (кольцо)	Шайба со смещенной осью	Круг	\( 2\pi^2 R r^2 \)

Поддерживаемые функции

Этот калькулятор принимает широкий спектр математических выражений:

Многочлены: x^2, x^3 + 2x, 3x^2 - x + 1
Тригонометрические: sin(x), cos(x), tan(x)
Обратные тригонометрические: asin(x), acos(x), atan(x)
Экспоненциальные/Логарифмические: exp(x), ln(x), log(x)
Корень: sqrt(x)
Константы: pi, e
Комбинации: x^2 * sin(x), sqrt(x) + 1

Часто задаваемые вопросы

Что такое объём тела вращения?

Объём тела вращения — это объём трехмерного объекта, созданного путем вращения двухмерной кривой или области вокруг оси. Он рассчитывается с помощью интегрального исчисления методами дисков, шайб или оболочек. Распространенные примеры из реального мира включают бутылки, чаши, вазы и поршни двигателей.

Когда следует использовать метод дисков, а когда метод оболочек?

Используйте метод дисков, когда ось вращения перпендикулярна переменной интегрирования (обычно вращение вокруг оси x с функциями от x). Используйте метод оболочек, когда ось вращения параллельна переменной интегрирования (обычно вращение вокруг оси y с функциями от x). Метод оболочек часто проще, когда функцию трудно инвертировать.

Что такое метод шайб?

Метод шайб является расширением метода дисков для областей, ограниченных двумя кривыми. Он вычитает объём внутреннего тела из внешнего тела по формуле \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \), где R(x) — внешний радиус, а r(x) — внутренний радиус.

Как выбрать ось вращения?

Наиболее распространенными осями являются ось x (y = 0) и ось y (x = 0). Вы также можете вращать область вокруг любой горизонтальной линии y = k или вертикальной линии x = k. Выбор оси влияет на то, какой метод будет наиболее удобным, и меняет выражения радиуса в интеграле.

Какие функции поддерживает этот калькулятор?

Этот калькулятор поддерживает многочлены (x^2, x^3), тригонометрические функции (sin, cos, tan), экспоненциальные и логарифмические функции (exp, ln, log), квадратный корень (sqrt) и комбинации со стандартными арифметическими операторами. Используйте x в качестве переменной.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор объёма тела вращения" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-объёма-тела-вращения/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой MiniWebtool. Обновлено: 2026-04-04

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.