Калькулятор Нулевого Пространства

О Калькулятор Нулевого Пространства

Калькулятор нулевого пространства находит нулевое пространство (ядро) любой матрицы, решая однородную систему Ax = 0. Введите матрицу любого размера до 8×8 и получите полный базис нулевого пространства с точной дробной арифметикой, пошаговым методом Гаусса до ступенчатого вида (RREF), классификацией столбцов (ведущие и свободные) и проверкой теоремы о ранге и дефекте.

What Is the Null Space of a Matrix?

Нулевое пространство (также называемое ядром) матрицы \(A\) размера \(m \times n\) — это множество всех векторов \(\mathbf{x}\) из \(\mathbb{R}^n\), удовлетворяющих условию:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

В виде множества: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). Нулевое пространство всегда является подпространством \(\mathbb{R}^n\), то есть содержит нулевой вектор и замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.

How to Find the Null Space

Шаг 1. Установите число строк (m) и столбцов (n) матрицы с помощью кнопок +/−, либо выберите готовый пример.

Шаг 2. Введите значения матрицы в таблицу. Можно вводить целые числа, десятичные дроби или обыкновенные дроби вида 1/3 или -5/2. Используйте Tab, Enter или стрелки для перемещения между ячейками.

Шаг 3. Нажмите «Найти нулевое пространство». Калькулятор выполняет метод Гаусса, приводя матрицу к ступенчатому виду (RREF).

Шаг 4. Определите ведущие и свободные столбцы. Каждый свободный столбец соответствует свободной переменной, которая может принимать любое значение.

Шаг 5. Для каждой свободной переменной присвойте ей значение 1, а всем остальным свободным переменным — 0, затем найдите значения ведущих переменных. Полученные векторы образуют базис нулевого пространства.

Null Space vs. Column Space

The Rank-Nullity Theorem

For any \(m \times n\) matrix \(A\):

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

Ранг равен числу ведущих столбцов в RREF, а дефект — числу свободных столбцов. Вместе они учитывают все столбцы. Эта теорема также известна как теорема о размерности линейных отображений.

Special Cases

Applications of the Null Space

Frequently Asked Questions

What is the null space of a matrix?

Нулевое пространство (или ядро) матрицы A — это множество всех векторов x, для которых Ax = 0. Это подпространство R^n, где n — число столбцов. Нулевое пространство всегда содержит нулевой вектор и может содержать бесконечно много ненулевых векторов, если у матрицы есть свободные переменные.

How do you find the null space?

Приведите матрицу A к ступенчатому виду (RREF) методом Гаусса. Определите ведущие и свободные столбцы. Для каждой свободной переменной присвойте ей значение 1, а всем остальным свободным переменным — 0, затем найдите значения ведущих переменных. Полученные векторы образуют базис нулевого пространства.

What is the rank-nullity theorem?

Теорема о ранге и дефекте утверждает, что для матрицы A размера m на n выполняется rank(A) + nullity(A) = n, где n — число столбцов. Ранг — это число ведущих столбцов, а дефект — размерность нулевого пространства (число свободных переменных).

Что означает, если нулевое пространство тривиально?

Тривиальное нулевое пространство означает, что единственное решение Ax = 0 — это нулевой вектор x = 0. Это происходит, когда каждый столбец является ведущим (полный столбцовый ранг). Это означает, что столбцы A линейно независимы.

Can non-square matrices have a null space?

Да. У любой матрицы есть нулевое пространство. Для матрицы размера m на n, где m меньше n, нулевое пространство гарантированно нетривиально (размерность не менее n - m), потому что неизвестных больше, чем уравнений, и поэтому свободные переменные всегда существуют.

Линейная алгебра:

• Калькулятор Определителя
• Калькулятор собственных значений и собственных векторов
• Калькулятор матриц
• Калькулятор разложения на простые дроби
• Векторный калькулятор
• Калькулятор Грама-Шмидта
• Калькулятор векторной проекции
• Калькулятор LU-разложения матрицы
• Калькулятор сингулярного разложения SVD
• Калькулятор ранга матрицы
• Калькулятор следа матрицы
• Калькулятор Матрицы Якоби Новый
• Калькулятор RREF (Ступенчатая форма) Новый
• Калькулятор Обратной Матрицы Новый
• Калькулятор Умножения Матриц Новый
• Калькулятор Скалярного Произведения Новый
• Калькулятор векторного произведения Новый
• Калькулятор модуля вектора Новый
• Калькулятор Единичного Вектора Новый
• Калькулятор угла между векторами Новый
• Калькулятор Нулевого Пространства Новый
• Калькулятор Столбцового Пространства Новый
• Калькулятор правила Крамера Новый
• Калькулятор диагонализации матрицы Новый
• Калькулятор QR-разложения Новый
• Калькулятор разложения Холецкого Новый
• Калькулятор степени матрицы Новый
• Калькулятор Характеристического Полинома Новый
• Калькулятор Жордановой Нормальной Формы Новый
• Калькулятор Матричной Экспоненты Новый
• Калькулятор Тензорного Произведения Новый