Калькулятор Вписанной Окружности

Рассчитайте вписанную окружность треугольника. Введите три стороны или координаты трёх вершин — получите радиус, центр вписанной окружности, точки касания, длины касательных и контактный треугольник с диаграммой и формулами.

БесплатноБез регистрацииМгновенный результат

Калькулятор Вписанной ОкружностиПопробуйте — бесплатно ▼

Embed Калькулятор Вписанной Окружности Widget

О Калькулятор Вписанной Окружности

Калькулятор вписанной окружности находит параметры вписанной окружности любого треугольника. Вписанная окружность — также известная как инсфера в более широком смысле — это самая большая окружность, которая полностью помещается внутри треугольника и касается всех трех его сторон. Введите три длины сторон или координаты трех вершин, чтобы мгновенно вычислить радиус вписанной окружности, положение инцентра, точки касания, длины касательных, контактный треугольник, радиусы вневписанных окружностей и многое другое с помощью интерактивной SVG-диаграммы и пошаговых формул.

Основные понятия вписанной окружности

◉

Вписанная окружность

Самая большая окружность внутри треугольника, касающаяся всех 3 сторон

⊕

Инцентр

Точка пересечения трех биссектрис углов — всегда внутри треугольника

◇

Точки касания

Три точки, в которых окружность касается каждой стороны треугольника

△

Контактный треугольник

Треугольник, образованный соединением трех точек касания

Формулы вписанной окружности

Для треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром s = (a + b + c) / 2:

Свойство	Формула	Описание
Площадь треугольника (Герона)	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	Площадь по трем сторонам через полупериметр
Радиус вписанной окружности	\(r = \frac{K}{s}\)	Радиус инсферы
Площадь вписанной окружности	\(A = \pi r^2\)	Площадь, ограниченная окружностью
Длина вписанной окружности	\(C = 2\pi r\)	Периметр окружности
Координаты инцентра	\(I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c}\)	Средневзвешенное значение вершин по длинам сторон
Длина касательной из A	\(t_A = s - a\)	Расстояние от вершины A до ближайших точек касания
Радиус вневписанной окружности	\(r_A = \frac{K}{s-a}\)	Радиус окружности, касающейся стороны a снаружи
Расстояние Эйлера	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	Расстояние между центром описанной окружности и инцентром

Вписанная vs. Описанная окружность

Вписанная и описанная окружности — две самые фундаментальные окружности треугольника, обладающие разными свойствами:

Вписанная окружность: Находится внутри, касается сторон. Находится через биссектрисы. Инцентр всегда внутри.
Описанная окружность: Проходит через вершины, обычно больше. Находится через серединные перпендикуляры. Центр может быть снаружи.
Неравенство Эйлера: Для любого треугольника \(R \geq 2r\), равенство только для равносторонних.

Длины касательных и контактный треугольник

Когда вписанная окружность касается стороны BC в точке D, стороны CA в точке E и стороны AB в точке F, длины касательных из каждой вершины равны: от A расстояния AF = AE = s − a; от B расстояния BF = BD = s − b; от C расстояния CD = CE = s − c. Треугольник DEF, образованный этими точками, называется контактным треугольником. Он обладает особыми свойствами: его углы связаны с углами исходного треугольника формулой ∠D = 90° − A/2.

Вневписанные окружности: Три спутника

У каждого треугольника есть три вневписанные окружности — окружности, касающиеся одной стороны и продолжений двух других сторон. Вневписанная окружность напротив вершины A имеет радиус r_A = K/(s−a), напротив B — r_B = K/(s−b), напротив C — r_C = K/(s−c). Элегантное тождество связывает все четыре радиуса: 1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C. Эти окружности важны в продвинутой геометрии и построении точки Нагеля.

Как найти вписанную окружность

Выберите метод ввода: Выберите "Три стороны", если знаете длины a, b, c, или "Три вершины", если есть координаты каждой вершины.
Введите значения: Введите длины или координаты (x, y). Используйте примеры для автоматического заполнения.
Нажмите Рассчитать: Нажмите кнопку "Рассчитать вписанную окружность".
Изучите результаты: Посмотрите радиус r, координаты инцентра, площадь, длину окружности, точки касания и отношение R/r.
Используйте диаграмму: Переключайте слои биссектрис, точек касания и контактного треугольника для визуализации.

Практическое применение

Вписанная окружность находит применение во многих областях. В производстве радиус r определяет максимальный размер круглого компонента (болт, сверло, труба), который поместится в треугольное отверстие. В архитектуре инцентры помогают проектировать круглые элементы в треугольных планировках. В вычислительной геометрии эти данные используются в алгоритмах улучшения сетки для конечно-элементного анализа. Радиус также служит мерой "полноты" треугольника — тонкие треугольники имеют малые радиусы относительно описанных, что важно для численной стабильности симуляций.

FAQ

Что такое вписанная окружность (инсфера)?

Вписанная окружность — это самая большая окружность, которая помещается внутри треугольника и касается всех его сторон. Ее центр (инцентр) — точка пересечения биссектрис углов. Любой невырожденный треугольник имеет ровно одну вписанную окружность.

Как найти радиус вписанной окружности треугольника?

Радиус r рассчитывается по формуле r = K / s, где K — площадь треугольника, а s — полупериметр s = (a+b+c)/2. Сначала вычислите площадь по формуле Герона, а затем разделите ее на полупериметр.

Где находится инцентр треугольника?

Инцентр — точка пересечения биссектрис. Он всегда лежит внутри треугольника, независимо от его вида. Его координаты рассчитываются как взвешенное среднее координат вершин: I = (a·A + b·B + c·C) / (a+b+c).

Что такое длины касательных вписанной окружности?

Это расстояния от вершины до точек касания окружности со сторонами. Из вершины A длина касательной равна s − a, из B — s − b, из C — s − c. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.

Что такое контактный треугольник?

Это треугольник, вершинами которого являются три точки касания вписанной окружности со сторонами исходного треугольника. У него есть интересные свойства, например, его углы равны 90° минус половина соответствующего угла исходного треугольника.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор Вписанной Окружности" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-вписанной-окружности/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 2026-04-03

Калькулятор Вписанной Окружности

О Калькулятор Вписанной Окружности

Основные понятия вписанной окружности

Формулы вписанной окружности

Вписанная vs. Описанная окружность

Длины касательных и контактный треугольник

Вневписанные окружности: Три спутника

Как найти вписанную окружность

Практическое применение

FAQ

Геометрические калькуляторы:

Решение по математике

Числа и делители

Дроби и деление

Степени, корни и логарифмы

Алгебра и уравнения

Математический анализ

Геометрия и тригонометрия

Популярные и обновлённые инструменты:

Скачайте всё одним ZIP-архивом с Pro