Калькулятор Скалярного Произведения
Введите два вектора в 2D, 3D или до 50 измерений. Получите скалярное произведение, угол между ними и скалярную и векторную проекции.
Ваш блокировщик рекламы мешает нам показывать объявления
MiniWebtool остается бесплатным благодаря рекламе. Если этот инструмент помог вам, поддержите нас: перейдите на тариф без рекламы и с большим числом ежедневных запусков или разрешите MiniWebtool.com и обновите страницу.
- Разрешите рекламу для MiniWebtool.com и обновите страницу
- Или перейдите на тариф без рекламы и с более высокими дневными лимитами
О Калькулятор Скалярного Произведения
Калькулятор скалярного произведения вычисляет скалярное произведение двух векторов в 2D, 3D или более высоких размерностях по алгебраической формуле \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\). Введите координаты двух векторов, чтобы мгновенно получить скалярное произведение, угол между векторами, их модули, скалярную и векторную проекции, геометрическую интерпретацию и пошаговое решение с интерактивной векторной диаграммой.
Real-World Applications
Key Formulas
| Property | Formula | Description |
|---|---|---|
| Dot Product | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i\) | Sum of component-wise products |
| Geometric Form | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) | Product of magnitudes times cosine of angle |
| Angle | \(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) | Angle between the two vectors (0° to 180°) |
| Magnitude | \(|\vec{a}| = \sqrt{\sum a_i^2}\) | Length (Euclidean norm) of a vector |
| Scalar Projection | \(\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\) | Signed length of a's shadow on b |
| Vector Projection | \(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\) | Vector component of a along b |
Dot Product vs. Cross Product
Dot Product (a · b)
Даёт скалярное значение. Работает в любой размерности (2D, 3D, nD). Показывает, насколько два вектора направлены в одну сторону. Равно нулю, если векторы перпендикулярны. Используется для проекций, углов и вычисления работы.
Cross Product (a × b)
Даёт вектор, перпендикулярный обоим исходным. Определено только в 3D (и 7D). Модуль равен площади параллелограмма, образованного векторами. Равно нулю, если векторы параллельны. Используется для момента силы, нормалей и вычисления площади.
Understanding the Geometric Interpretation
Скалярное произведение имеет глубокий геометрический смысл: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\). Отсюда следует:
- Положительное скалярное произведение (θ < 90°): векторы направлены в целом в одну сторону.
- Нулевое скалярное произведение (θ = 90°): векторы перпендикулярны (ортогональны) — это основа проверки ортогональности в линейной алгебре.
- Отрицательное скалярное произведение (θ > 90°): векторы направлены в целом в противоположные стороны.
Скалярная проекция \(\vec{a}\) на \(\vec{b}\) даёт знаковую длину «тени» \(\vec{a}\), если свет падает перпендикулярно \(\vec{b}\). Векторная проекция представляет эту тень как настоящий вектор вдоль \(\vec{b}\).
How to Use the Dot Product Calculator
- Выберите размерность: 2D, 3D, 4D или «Другое» для более высоких размерностей. Нажмите на пример, чтобы автоматически заполнить значения.
- Введите вектор a: укажите координаты через запятую (например, 3, 4, 5 для 3D-вектора).
- Введите вектор b: укажите координаты второго вектора той же размерности.
- Смотрите предпросмотр в реальном времени: векторная диаграмма обновляется по мере ввода, показывая пространственное расположение и угол между векторами.
- Нажмите «Вычислить»: нажмите кнопку, чтобы получить полный результат — скалярное произведение, угол, модули, проекции, интерпретацию и пошаговые формулы.
Properties of the Dot Product
- Коммутативность: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
- Дистрибутивность: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
- Умножение на скаляр: \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
- Скалярное произведение вектора на себя: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\) (квадрат модуля)
- Неравенство Коши-Шварца: \(|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|\)
FAQ
Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:
"Калькулятор Скалярного Произведения" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-скалярного-произведения/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
by miniwebtool team. Updated: 2026-04-09
Линейная алгебра:
- Калькулятор угла между векторами Новый
- Калькулятор Характеристического Полинома Новый
- Калькулятор разложения Холецкого Новый
- Калькулятор Столбцового Пространства Новый
- Калькулятор правила Крамера Новый
- Калькулятор векторного произведения Новый
- Калькулятор Определителя
- Калькулятор Скалярного Произведения Новый
- Калькулятор собственных значений и собственных векторов
- Калькулятор Грама-Шмидта
- Калькулятор Матрицы Якоби Новый
- Калькулятор Жордановой Нормальной Формы Новый
- Калькулятор матриц
- Калькулятор диагонализации матрицы Новый
- Калькулятор Матричной Экспоненты Новый
- Калькулятор Обратной Матрицы Новый
- Калькулятор LU-разложения матрицы
- Калькулятор Умножения Матриц Новый
- Калькулятор степени матрицы Новый
- Калькулятор ранга матрицы
- Калькулятор следа матрицы
- Калькулятор Нулевого Пространства Новый
- Калькулятор разложения на простые дроби
- Калькулятор QR-разложения Новый
- Калькулятор RREF (Ступенчатая форма) Новый
- Калькулятор сингулярного разложения SVD
- Калькулятор Тензорного Произведения Новый
- Калькулятор Единичного Вектора Новый
- Векторный калькулятор
- Калькулятор модуля вектора Новый
- Калькулятор векторной проекции