Решатель задач на совместную работу

Решатель задач на совместную работу охватывает пять наиболее распространенных типов текстовых задач на производительность в одном инструменте: классическая задача на совместное время, задача на поиск времени помощника (когда известно время одного работника и общее время), задача на расчет чистого времени наполнения и слива через трубы, задача на работу по сменам и задача на частичное выполнение (когда второй работник присоединяется в процессе). Введите время работы в одиночку в удобных единицах — часах, минутах, днях или секундах — и решатель применит закон сложения скоростей, пошагово разберет алгебраические выкладки в LaTeX и покажет анимированную визуализацию вклада каждого участника.

Как пользоваться решателем

1. Выберите из выпадающего списка сценарий, соответствующий вашей задаче: совместная работа, поиск работника, наполнение против слива, смены или начало работы в одиночку с последующим присоединением.
2. Выберите единицу времени (часы, минуты, дни или секунды). Все вводимые данные должны быть в одной единице.
3. Введите время работы каждого исполнителя соло. В случае поиска работника введите также общее время. Для труб введите время налива и слива. Для смен укажите длину смены и того, кто начинает. Для частичного выполнения — время работы А в одиночку.
4. Нажмите «Решить». Результатом будет искомое значение: общее время, время работы Б, чистое время наполнения или общая длительность проекта.
5. Следите за тем, как круговые диаграммы заполняются пропорционально скоростям, и изучайте пошаговое объяснение в формате LaTeX.

Пять формул вкратце

Закон сложения скоростей (ключевая идея)

Любая задача на производительность сводится к одному принципу: при сотрудничестве складываются скорости (производительность), а не время. Если А выполняет всю работу за \( T_A \), то за единицу времени А делает \( 1/T_A \) часть работы. Два работника вносят свои доли независимо:

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

Каждый сценарий в этом калькуляторе — это просто поиск разных неизвестных в этом уравнении:

• Вместе — находим \( T \), зная \( T_A \) и \( T_B \).
• Поиск работника — находим \( T_B \), зная \( T_A \) и общее время \( T \).
• Трубы — меняем знак одного слагаемого: \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \).
• Смены — разбиваем время на циклы А+Б, каждый цикл выполняет \( L(r_A+r_B) \) работы.
• Частично — делим временную шкалу: А соло, затем вместе.

Пример: два маляра

Маляр А может покрасить стену за 6 часов. Маляр Б может покрасить ту же стену за 4 часа. Сколько времени им потребуется при совместной работе?

1. Скорость А: \( r_A = 1/6 \) стены в час.
2. Скорость Б: \( r_B = 1/4 \) стены в час.
3. Общая скорость: \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) стены в час.
4. Общее время: \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2.4 \) часа = 2 часа 24 минуты.
5. Заметьте: ответ (2.4 ч) меньше, чем 4 ч и 6 ч — второй работник всегда ускоряет процесс.

Пример: поиск помощника

Известно, что А в одиночку справляется за 5 часов. С помощником Б команда заканчивает работу за 2 часа. Сколько времени потребовалось бы Б в одиночку?

1. Общая скорость: \( r_T = 1/2 = 0.5 \) работы в час.
2. Скорость А: \( r_A = 1/5 = 0.2 \) работы в час.
3. Вычитаем: \( r_B = 0.5 - 0.2 = 0.3 \) работы в час.
4. Время Б соло: \( T_B = 1/0.3 \approx 3.33 \) часа.

Пример: налив против слива

Наливная труба наполняет бак за 5 часов. Сливная труба опорожняет его за 8 часов. Обе трубы открыты. Через сколько времени бак наполнится?

1. Скорость налива: \( r_f = 1/5 = 0.20 \) бака в час.
2. Скорость слива: \( r_d = 1/8 = 0.125 \) бака в час.
3. Чистая скорость: \( r_{net} = 0.20 - 0.125 = 0.075 \) бака в час.
4. Время наполнения: \( T = 1/0.075 \approx 13.33 \) часа = 13 ч 20 мин.
5. Проверка: налив без слива занял бы 5 ч; со сливом время увеличилось более чем вдвое. Если бы слив был быстрее налива, бак никогда бы не наполнился.

Пример: чередование часовых смен

А выполняет работу за 6 часов. Б — за 8 часов. Они работают по очереди сменами по одному часу, начинает А. Сколько времени займет вся работа?

1. Работа за пару смен: \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0.2917 \) работы за цикл.
2. Три полных цикла (6 часов) дают \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0.875 \) выполненной работы.
3. Остаток: 0.125. Следующая часовая смена А покроет \( 1/6 \approx 0.1667 \), что больше 0.125. Значит, А закончит работу во время своей 4-й смены.
4. Время А на остаток: \( 0.125 / (1/6) = 0.75 \) часа.
5. Итоговое время: \( 6 + 0.75 = 6.75 \) часов = 6 ч 45 мин.

Пример: частичное выполнение

А начинает работу один (время соло 6 ч). Через 2 часа к нему присоединяется Б (время соло 4 ч). Сколько времени пройдет до завершения?

1. Работа, выполненная А в одиночку: \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) всей задачи.
2. Оставшаяся работа: \( 1 - 1/3 = 2/3 \).
3. Совместная скорость: \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) в час.
4. Время совместной фазы: \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1.6 \) часа.
5. Итого: \( 2 + 1.6 = 3.6 \) часа = 3 ч 36 мин.

Типичные ошибки и как их избежать

• Сложение времени вместо скоростей — самая частая ошибка. Если А нужно 6 ч, а Б — 4 ч, ответ НЕ 5 ч (среднее) и НЕ 10 ч (сумма). Ответ 2.4 ч, полученный через сложение скоростей.
• Совместное время больше времени самого быстрого работника — общее время всегда должно быть меньше и \( T_A \), и \( T_B \). Если получилось больше, в расчетах ошибка.
• Трубы, которые никогда не наполнят бак — если скорость слива больше или равна скорости налива, бак никогда не будет полным. Решатель предупредит об этом.
• Смешивание единиц времени — ввод одних данных в минутах, а других в часах приведет к неверному результату. Выберите одну единицу в начале и придерживайтесь ее.
• Смены: не забывайте про неполную последнюю смену — после подсчета целых циклов работа обычно заканчивается в середине чьей-то смены.
• А может закончить до прихода Б — если \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \), А уже все сделал, и Б не придется работать. Калькулятор учитывает такие случаи автоматически.

Краткая справка — Скорость vs Время

Где задачи на производительность встречаются в жизни

• Строительство и подряды — оценка времени работы бригады, когда известна скорость каждого мастера.
• Сантехника и гидравлика — расчет параметров насоса и слива для достижения нужного уровня воды за заданное время.
• IT и параллельные вычисления — работа нескольких обработчиков тестов; время выполнения равно времени самого долгого, но пропускная способность равна сумме скоростей.
• Производство — использование нескольких станков на одной линии; общая выработка равна сумме выработок каждого станка.
• Образование — такие задачи являются стандартной частью тестов SAT/ACT, GRE, GMAT и школьных учебников по алгебре.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула для двух рабочих, работающих вместе?

Складываются скорости, а не время. Если А выполняет работу за \( T_A \), а Б за \( T_B \), их общая скорость равна \( 1/T_A + 1/T_B \), а общее время \( T = (T_A T_B)/(T_A + T_B) \). Например, если А нужно 6 часов, а Б — 4 часа, вместе они справятся за \( 24/10 = 2.4 \) часа.

Почему в задачах на работу используются обратные величины времени?

Потому что скорость — это часть одной работы, выполняемая за единицу времени. Если А делает работу за 6 часов, то за час он делает \( 1/6 \). При совместной работе эти доли суммируются — это и есть закон сложения скоростей.

Как решить задачу про трубу наполнения и трубу слива?

Нужно вычесть скорость слива из скорости налива. Если труба наполняет бак за \( T_f \), а сливная опорожняет его за \( T_d \), чистая скорость составит \( 1/T_f - 1/T_d \), а время наполнения — \( 1 / (1/T_f - 1/T_d) \). Бак наполнится только при условии, что налив идет быстрее слива.

Что такое задача на работу по сменам?

А и Б работают по очереди фиксированное время. После каждого цикла (смена А + смена Б) команда выполняет \( L(r_A + r_B) \) работы. Циклы повторяются до тех пор, пока остаток работы не окажется меньше производительности за полную смену. Калькулятор рассчитывает количество циклов и финальный остаток.

Как решить задачу, где Б присоединяется в середине процесса?

Разделите процесс на две фазы. В первой фазе А работает один со скоростью \( r_A \) в течение времени \( t_{solo} \), выполняя \( r_A t_{solo} \) работы. Во второй фазе А и Б работают вместе со скоростью \( r_A + r_B \). Общее время составит \( t_{solo} + (1 - r_A t_{solo})/(r_A + r_B) \).

Что если совместное время больше, чем время работы А в одиночку?

Это невозможно. Добавление помощника всегда сокращает время выполнения задачи. Решатель выдаст ошибку и попросит перепроверить входные данные. Совместное время всегда должно быть строго меньше времени каждого отдельного работника.

Можно ли рассчитать время для трех и более работников?

Да, закон сложения скоростей универсален: \( 1/T = 1/T_A + 1/T_B + 1/T_C + \ldots \). Хотя этот калькулятор рассчитан на двух исполнителей, вы можете считать последовательно: сначала для А и Б, а затем результат принять за одного работника и добавить к нему В.

Работает ли расчет в любой единице времени?

Да. Закон сложения скоростей не зависит от единиц измерения, если они одинаковы для всех данных. Выберите часы, минуты, дни или секунды, и калькулятор выдаст ответ в той же единице.