Калькулятор отрицательного биномиального распределения

О Калькулятор отрицательного биномиального распределения

Калькулятор отрицательного биномиального распределения вычисляет точные вероятности количества неудач (или общего количества испытаний), необходимых для достижения целевого количества успехов. Введите необходимое количество успехов (r), вероятность успеха в одном испытании (p) и ваше целевое значение (k), чтобы получить точечные и кумулятивные вероятности, пошаговые решения, интерактивные графики и визуализацию последовательности испытаний.

Что такое отрицательное биномиальное распределение?

Отрицательное биномиальное распределение — это дискретное распределение вероятностей, которое моделирует количество неудач до наступления заданного количества успехов в последовательности независимых испытаний Бернулли. Каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха p. Оно отвечает на такие вопросы, как «Сколько неудачных звонков я совершу, прежде чем закрою свою 5-ю сделку?» или «Сколько дефектных изделий я проверю, прежде чем найду 10 качественных?»

Распределение получило свое название от разложения отрицательного бинома, используемого при его выводе. Оно обобщает геометрическое распределение, которое является частным случаем, когда r = 1 (требуется один успех).

Две распространенные параметризации

Отрицательное биномиальное распределение имеет две эквивалентные формулировки, которые различаются тем, что именно считает случайная величина:

• Параметризация по неудачам (X): X учитывает только неудачи до r-го успеха. X может принимать значения 0, 1, 2, 3, ... PMF: P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k.
• Параметризация по испытаниям (Y): Y учитывает общее количество испытаний (как успехов, так и неудач) до r-го успеха. Y может принимать значения r, r+1, r+2, ... Связь: Y = X + r.

Этот калькулятор поддерживает оба варианта. Используйте переключатель, чтобы выбрать, вводить ли k как количество неудач или как общее количество испытаний.

Формула PMF отрицательного биномиального распределения

В параметризации по неудачам функция вероятности (PMF) имеет вид:

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

Где C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) — биномиальный коэффициент. Член C(k + r − 1, r − 1) подсчитывает количество способов расположить k неудач и r − 1 успехов в первых k + r − 1 испытаниях (последнее испытание обязательно должно быть успехом). Член p^r — это вероятность r успехов, а (1 − p)^k — вероятность k неудач.

Математическое ожидание, дисперсия и другие статистические показатели

Для отрицательной биномиальной случайной величины X (параметризация по неудачам) с параметрами r и p:

• Математическое ожидание (среднее): μ = r(1 − p) / p
• Дисперсия: σ² = r(1 − p) / p²
• Стандартное отклонение: σ = √(r(1 − p) / p²)
• Мода: ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋ при r > 1; 0 при r = 1
• Коэффициент асимметрии: (2 − p) / √(r(1 − p))

Для параметризации по испытаниям Y = X + r среднее значение смещается к r/p, а дисперсия остается прежней.

Связь с другими распределениями

• Геометрическое распределение: Частный случай при r = 1. Моделирует количество неудач до первого успеха.
• Биномиальное распределение: В то время как биномиальное фиксирует количество испытаний и считает успехи, отрицательное биномиальное фиксирует количество успехов и считает испытания/неудачи.
• Распределение Пуассона: Отрицательное биномиальное можно рассматривать как смесь Пуассона-Гамма. При r → ∞ и p → 1, пока r(1 − p)/p остается постоянным, отрицательное биномиальное распределение приближается к распределению Пуассона.

Распространенные области применения

• Продажи и маркетинг — Сколько звонков нужно сделать продавцу, чтобы закрыть целевое количество сделок при известном коэффициенте конверсии?
• Контроль качества — Сколько изделий необходимо проверить, чтобы найти целевое количество соответствующих стандартам единиц?
• Клинические испытания — Сколько пациентов необходимо привлечь для получения целевого количества положительных ответов?
• Страхование — Моделирование количества страховых случаев, когда дисперсия превышает среднее (сверхдисперсия относительно распределения Пуассона).
• Экология — Моделирование данных о численности видов, где показатели демонстрируют большую изменчивость, чем позволяет модель Пуассона.
• Спортивная аналитика — Сколько бросков или попыток потребуется спортсмену, чтобы достичь целевого количества успешных результатов?

Как пользоваться этим калькулятором

1. Введите r, количество успехов, которое вы хотите достичь (r ≥ 1).
2. Введите p, вероятность успеха в каждом испытании (0 < p ≤ 1).
3. Выберите режим ввода: представляет ли k количество неудач или общее количество испытаний.
4. Введите k, конкретное значение, для которого вы хотите найти вероятность.
5. Нажмите «Рассчитать вероятность», чтобы увидеть точные и кумулятивные вероятности, пошаговые комбинаторные решения, визуализацию последовательности испытаний, графики PMF/CDF и полную таблицу распределения.

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между отрицательным биномиальным и биномиальным распределениями?

Биномиальное распределение фиксирует количество испытаний и считает случайное количество успехов. Отрицательное биномиальное фиксирует количество успехов и считает случайное количество испытаний (или неудач). Они отвечают на взаимодополняющие вопросы: биномиальное спрашивает «Сколько успехов в n испытаниях?», а отрицательное биномиальное — «Сколько испытаний до r успехов?»

Когда следует использовать отрицательное биномиальное распределение вместо распределения Пуассона?

Используйте отрицательное биномиальное распределение, когда ваши данные демонстрируют сверхдисперсию — когда дисперсия больше среднего значения. Распределение Пуассона предполагает равенство среднего значения и дисперсии. Отрицательное биномиальное имеет дополнительный параметр, позволяющий дисперсии превышать среднее, что делает его более подходящим для многих реальных наборов данных.

Что это значит, когда r = 1?

Когда r = 1, отрицательное биномиальное распределение сводится к геометрическому распределению, которое моделирует количество неудач до первого успеха. Например, количество бросков монеты, при которых выпадает решка, до первого выпадения орла.

Может ли p равняться 0 или 1?

Вероятность p должна быть строго больше 0. Если p = 0, успех невозможен, поэтому вам потребуется бесконечное количество испытаний. Если p = 1, каждое испытание является успешным, поэтому всегда будет 0 неудач, и распределение будет вырожденным (вся вероятность сосредоточена в k = 0). Этот калькулятор принимает p = 1 как особый случай.

Как отрицательное биномиальное распределение используется в регрессии?

Отрицательная биномиальная регрессия — это обобщение регрессии Пуассона, используемое, когда данные подсчета демонстрируют сверхдисперсию. Она добавляет параметр дисперсии, который позволяет условной дисперсии превышать условное среднее. Общие области применения включают моделирование количества посещений больниц, частоты дорожно-транспортных происшествий и данных о численности видов.