Калькулятор отрицательного биномиального распределения

О Калькулятор отрицательного биномиального распределения

Калькулятор отрицательного биномиального распределения вычисляет точные вероятности количества неудач (или общего количества испытаний), необходимых для достижения целевого количества успехов. Введите необходимое количество успехов (r), вероятность успеха в одном испытании (p) и ваше целевое значение (k), чтобы получить точечные и кумулятивные вероятности, пошаговые решения, интерактивные графики и визуализацию последовательности испытаний.

Что такое отрицательное биномиальное распределение?

Отрицательное биномиальное распределение — это дискретное распределение вероятностей, которое моделирует количество неудач до наступления заданного количества успехов в последовательности независимых испытаний Бернулли. Каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха p. Оно отвечает на такие вопросы, как «Сколько неудачных звонков я совершу, прежде чем закрою свою 5-ю сделку?» или «Сколько дефектных изделий я проверю, прежде чем найду 10 качественных?»

Распределение получило свое название от разложения отрицательного бинома, используемого при его выводе. Оно обобщает геометрическое распределение, которое является частным случаем, когда r = 1 (требуется один успех).

Две распространенные параметризации

Отрицательное биномиальное распределение имеет две эквивалентные формулировки, которые различаются тем, что именно считает случайная величина:

• Параметризация по неудачам (X): X учитывает только неудачи до r-го успеха. X может принимать значения 0, 1, 2, 3, ... PMF: P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k.
• Параметризация по испытаниям (Y): Y учитывает общее количество испытаний (как успехов, так и неудач) до r-го успеха. Y может принимать значения r, r+1, r+2, ... Связь: Y = X + r.

Этот калькулятор поддерживает оба варианта. Используйте переключатель, чтобы выбрать, вводить ли k как количество неудач или как общее количество испытаний.

Формула PMF отрицательного биномиального распределения

В параметризации по неудачам функция вероятности (PMF) имеет вид:

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

Где C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) — биномиальный коэффициент. Член C(k + r − 1, r − 1) подсчитывает количество способов расположить k неудач и r − 1 успехов в первых k + r − 1 испытаниях (последнее испытание обязательно должно быть успехом). Член p^r — это вероятность r успехов, а (1 − p)^k — вероятность k неудач.

Математическое ожидание, дисперсия и другие статистические показатели

Для отрицательной биномиальной случайной величины X (параметризация по неудачам) с параметрами r и p:

• Математическое ожидание (среднее): μ = r(1 − p) / p
• Дисперсия: σ² = r(1 − p) / p²
• Стандартное отклонение: σ = √(r(1 − p) / p²)
• Мода: ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋ при r > 1; 0 при r = 1
• Коэффициент асимметрии: (2 − p) / √(r(1 − p))

Для параметризации по испытаниям Y = X + r среднее значение смещается к r/p, а дисперсия остается прежней.

Связь с другими распределениями

• Геометрическое распределение: Частный случай при r = 1. Моделирует количество неудач до первого успеха.
• Биномиальное распределение: В то время как биномиальное фиксирует количество испытаний и считает успехи, отрицательное биномиальное фиксирует количество успехов и считает испытания/неудачи.
• Распределение Пуассона: Отрицательное биномиальное можно рассматривать как смесь Пуассона-Гамма. При r → ∞ и p → 1, пока r(1 − p)/p остается постоянным, отрицательное биномиальное распределение приближается к распределению Пуассона.

Распространенные области применения

• Продажи и маркетинг — Сколько звонков нужно сделать продавцу, чтобы закрыть целевое количество сделок при известном коэффициенте конверсии?
• Контроль качества — Сколько изделий необходимо проверить, чтобы найти целевое количество соответствующих стандартам единиц?
• Клинические испытания — Сколько пациентов необходимо привлечь для получения целевого количества положительных ответов?
• Страхование — Моделирование количества страховых случаев, когда дисперсия превышает среднее (сверхдисперсия относительно распределения Пуассона).
• Экология — Моделирование данных о численности видов, где показатели демонстрируют большую изменчивость, чем позволяет модель Пуассона.
• Спортивная аналитика — Сколько бросков или попыток потребуется спортсмену, чтобы достичь целевого количества успешных результатов?

Как пользоваться этим калькулятором

1. Введите r, количество успехов, которое вы хотите достичь (r ≥ 1).
2. Введите p, вероятность успеха в каждом испытании (0 < p ≤ 1).
3. Выберите режим ввода: представляет ли k количество неудач или общее количество испытаний.
4. Введите k, конкретное значение, для которого вы хотите найти вероятность.
5. Нажмите «Рассчитать вероятность», чтобы увидеть точные и кумулятивные вероятности, пошаговые комбинаторные решения, визуализацию последовательности испытаний, графики PMF/CDF и полную таблицу распределения.

Часто задаваемые вопросы

В чем разница между отрицательным биномиальным и биномиальным распределениями?

Биномиальное распределение фиксирует количество испытаний и считает случайное количество успехов. Отрицательное биномиальное фиксирует количество успехов и считает случайное количество испытаний (или неудач). Они отвечают на взаимодополняющие вопросы: биномиальное спрашивает «Сколько успехов в n испытаниях?», а отрицательное биномиальное — «Сколько испытаний до r успехов?»

Когда следует использовать отрицательное биномиальное распределение вместо распределения Пуассона?

Используйте отрицательное биномиальное распределение, когда ваши данные демонстрируют сверхдисперсию — когда дисперсия больше среднего значения. Распределение Пуассона предполагает равенство среднего значения и дисперсии. Отрицательное биномиальное имеет дополнительный параметр, позволяющий дисперсии превышать среднее, что делает его более подходящим для многих реальных наборов данных.

Что это значит, когда r = 1?

Когда r = 1, отрицательное биномиальное распределение сводится к геометрическому распределению, которое моделирует количество неудач до первого успеха. Например, количество бросков монеты, при которых выпадает решка, до первого выпадения орла.

Может ли p равняться 0 или 1?

Вероятность p должна быть строго больше 0. Если p = 0, успех невозможен, поэтому вам потребуется бесконечное количество испытаний. Если p = 1, каждое испытание является успешным, поэтому всегда будет 0 неудач, и распределение будет вырожденным (вся вероятность сосредоточена в k = 0). Этот калькулятор принимает p = 1 как особый случай.

Как отрицательное биномиальное распределение используется в регрессии?

Отрицательная биномиальная регрессия — это обобщение регрессии Пуассона, используемое, когда данные подсчета демонстрируют сверхдисперсию. Она добавляет параметр дисперсии, который позволяет условной дисперсии превышать условное среднее. Общие области применения включают моделирование количества посещений больниц, частоты дорожно-транспортных происшествий и данных о численности видов.

Продвинутые математические операции:

• Антилогарифмический Калькулятор
• Калькулятор бета-функции
• Калькулятор биномиального коэффициента
• Калькулятор биномиального распределения
• Побитовый калькулятор Рекомендуемое
• Калькулятор центральной предельной теоремы
• Комбинированный калькулятор
• Калькулятор дополнительной функции ошибки
• Калькулятор комплексных чисел Рекомендуемое
• Калькулятор Энтропии
• Калькулятор функции ошибки
• Калькулятор экспоненциального распада
• Калькулятор экспоненциального роста: высокая точность
• Калькулятор экспоненциального интеграла
• калькулятор-показателей-высокая-точность
• Калькулятор факториала Рекомендуемое
• Калькулятор гамма-функции
• Калькулятор золотого сечения
• Калькулятор полураспада
• Калькулятор процентного роста
• Калькулятор перестановок
• Калькулятор распределения Пуассона
• Калькулятор корней многочленов с подробными шагами
• Калькулятор вероятности
• Калькулятор распределения вероятностей
• Калькулятор пропорций
• Калькулятор квадратичных формул
• Научный Калькулятор
• Калькулятор экспоненциальной записи
• Калькулятор значащих цифр Новый
• Калькулятор суммы кубов
• Калькулятор суммы последовательных чисел
• Калькулятор суммы квадратов
• Генератор таблицы истинности
• Калькулятор теории множеств
• Генератор диаграммы Венна (3 множества)
• Калькулятор китайской теоремы об остатках
• Калькулятор функции Эйлера
• Калькулятор расширенного алгоритма Евклида
• Калькулятор модулярного мультипликативного обратного
• Калькулятор цепных дробей
• Калькулятор кратчайшего пути Дейкстры
• Калькулятор минимального остовного дерева
• Валидатор последовательности степеней графа
• Калькулятор беспорядков (субфакториал)
• Калькулятор чисел Стирлинга
• Калькулятор принципа голубятни
• Калькулятор стационарного распределения цепи Маркова
• Калькулятор округления Новый
• Калькулятор отрицательного биномиального распределения Новый
• Калькулятор перестановок с повторениями Новый
• Калькулятор Модульного Возведения в Степень Новый
• Калькулятор первообразного корня
• Упроститель Булевой Алгебры Новый
• Решатель Карты Карно (K-Map) Новый
• Калькулятор раскраски графов Новый
• Калькулятор топологической сортировки Новый
• Калькулятор матрицы смежности Новый
• Калькулятор формулы включений-исключений Новый
• Решатель Линейного Программирования Новый
• Решатель задачи коммивояжёра (TSP) Новый
• Проверка Гамильтонова Пути Новый
• Проверка планарного графа Новый
• Калькулятор сетевого потока (Максимальный поток) Новый
• Решатель задачи о стабильных браках Новый
• Калькулятор Порядка в Теории Групп Новый
• Калькулятор Колец и Полей Новый