Линейная алгебра

Бесплатный онлайн-калькулятор векторов MiniWebtool пошагово решает задачи на скалярное и векторное произведение, длину, единичный вектор, угол между векторами, проекцию и многое другое; есть интерактивная 3D-визуализация.

Калькулятор LU-разложения матрицы от MiniWebtool раскладывает квадратную матрицу до 8×8 с частичным выбором главного элемента. Нижняя, верхняя и перестановочная матрицы показывают, как исключение и перестановка строк восстанавливают исходную систему.

Калькулятор QR-разложения от MiniWebtool использует ортогонализацию Грама — Шмидта для разложения поддерживаемых матриц от 2×2 до 5×5 на Q и R. Анимированные шаги поясняют проекции, а проверка ортогональности сравнивает QᵀQ с единичной матрицей.

Проследите приведение матрицы в калькуляторе RREF от MiniWebtool (приведённая ступенчатая форма). Каждый ведущий элемент, перестановка строк и исключение приводят к приведённой ступенчатой форме; для расширенной матрицы показываются ранг, дефект и сведения о решении.

Калькулятор векторного произведения от MiniWebtool находит вектор, перпендикулярный двум векторам в 3D. Компоненты дают векторное произведение, его величину и связанный угол; разложение определителя и вращаемая диаграмма подтверждают перпендикулярность.

Вычислите векторную и скалярную проекции одного вектора на другой калькулятором проекции вектора MiniWebtool. Поддерживаются векторы 2D и 3D, пошаговые формулы, интерактивная диаграмма и ортогональное разложение.

Проследите за каждой проекцией в процессе Грама — Шмидта с помощью калькулятора Грама — Шмидта от MiniWebtool. Введите линейно независимые векторы, чтобы получить ортогональный и ортонормированный базисы; промежуточные вычисления и проверки показывают взаимосвязь результирующих векторов.

Диагонализируйте квадратную матрицу калькулятором диагонализации матриц MiniWebtool: вычислите собственные значения, собственные векторы и разложение A = PDP⁻¹. Поддерживаются матрицы от 2×2 до 5×5; доступны пошаговые решения, характеристический многочлен, анализ кратности и интерактивная визуализация.

Нормализуйте ненулевой вектор по его длине с помощью калькулятора единичного вектора от MiniWebtool. Введите две, три или до 50 компонент, чтобы увидеть единичный вектор и применимые сведения о направляющих углах.

Некоторые матрицы нельзя диагонализировать, но их можно представить блоками Жордана. Калькулятор жордановой нормальной формы от MiniWebtool вычисляет J и матрицу перехода P, объясняя цепочки обобщённых собственных векторов и показывая структуру блоков.

Выполняйте распространённые матричные операции с помощью калькулятора матриц от MiniWebtool. Сложение, вычитание, умножение, транспонирование, определитель и обратная матрица сопровождаются структурированным отображением и шагами вычислений.

Калькулятор матрицы Якоби от MiniWebtool располагает частные производные векторной функции в виде матрицы. Введите до шести компонент и переменных для пошагового решения; где применимо, доступны вычисления определителя и собственных значений.

Исследуйте линейную систему дифференциальных уравнений с помощью матричной экспоненты. Калькулятор матричной экспоненты от MiniWebtool вычисляет e^(At) и может применить результат к начальному вектору; доступны сведения о численном методе и визуализация фазового потока.

Вычислите модуль, или евклидову норму, 2D-, 3D- или n-мерного вектора с калькулятором длины вектора MiniWebtool. Пошаговый расчёт показывает квадраты каждой компоненты, сумму под корнем и итоговый квадратный корень; также есть диаграмма вектора.

Калькулятор ядра матрицы от MiniWebtool находит базис всех векторов, удовлетворяющих Ax = 0. Приведение строк с точными дробями выявляет свободные переменные; дефект и проверка теоремы о ранге и дефекте связывают множество решений с размерностями матрицы.

Найдите обратную матрицу размера от 2×2 до 6×6 с помощью калькулятора обратной матрицы от MiniWebtool. Решение методом Гаусса — Жордана и определитель объясняют обратимость; умножение на результат проверяет единичную матрицу.

Калькулятор определителя от MiniWebtool вычисляет квадратную матрицу и объясняет разложение по алгебраическим дополнениям. Введите матрицу, чтобы изучить определитель и его значение для таких свойств, как вырожденность.

Решите систему линейных уравнений с двумя или тремя переменными через определители с помощью калькулятора правила Крамера от MiniWebtool. Коэффициенты и свободные члены дают шаги замены столбцов и отношения определителей, если система имеет единственное решение.

Разложите рациональное выражение на более простые слагаемые с помощью калькулятора разложения на простые дроби от MiniWebtool. Расчёт коэффициентов и наглядная разбивка показывают, как отдельные дроби складываются в исходную функцию.

Разложите симметричную положительно определённую матрицу как A = LLᵀ с помощью калькулятора разложения Холецкого от MiniWebtool. Нижнетреугольный множитель строится пошагово, затем умножается на транспонированную матрицу для проверки восстановления исходной.

Определите количество независимых строк или столбцов с помощью калькулятора ранга матрицы от MiniWebtool. Он обрабатывает матрицы до 10×10 и показывает ступенчатый вид строк вместе с размерностями пространства столбцов и ядра.

Калькулятор сингулярного разложения (SVD) от MiniWebtool раскладывает действительную матрицу размером до 10×10 на U, Σ и транспонированную V; ранг и число обусловленности помогают оценить численную структуру.

Калькулятор скалярного произведения от MiniWebtool суммирует произведения соответствующих компонент векторов в 2D, 3D или более высоких измерениях. Скалярный результат сопровождается длинами, углами и проекциями там, где они определены, а также пошаговым расчётом и диаграммой векторов.

След матрицы — это сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы. Калькулятор следа матрицы от MiniWebtool выделяет эти элементы для матриц до 10×10 и сравнивает их сумму с суммой собственных значений.

Найдите инвариантные направления матрицы с помощью калькулятора собственных значений и собственных векторов от MiniWebtool. Матрица 2×2 или 3×3 даёт собственные значения и соответствующие векторы; доступны шаги характеристического многочлена и геометрия преобразования.

Калькулятор степени матрицы от MiniWebtool возводит квадратную матрицу в выбранную целую степень. Промежуточные вычисления и свойства матриц поясняют повторное умножение; отрицательные степени требуют обратимой матрицы.

Найдите пространство столбцов матрицы с помощью калькулятора пространства столбцов от MiniWebtool. Приведение строк выявляет ведущие столбцы, а соответствующие исходные столбцы формируют базис; ранг, дефект и пошаговые операции объясняют результат.

Вычислите произведение Кронекера с помощью калькулятора тензорного произведения от MiniWebtool. Для двух прямоугольных матриц получите точный результат в виде дробей, пошаговую визуализацию блоков и копируемый вывод, показывающий, как каждый элемент умножает вторую матрицу.

Вычислите угол между двумя векторами в 2D- или 3D-пространстве с помощью калькулятора угла между векторами MiniWebtool по формуле скалярного произведения cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Получите пошаговое решение, результат в градусах и радианах, интерактивную диаграмму векторов и геометрическую интерпретацию.

Проследите за каждым скалярным произведением строки на столбец в калькуляторе умножения матриц от MiniWebtool. Введите две совместимые матрицы размером до 5×5, чтобы увидеть произведение и отдельные вычисления элементов результата.

Рассчитайте det(λI − A) с помощью калькулятора характеристического многочлена от MiniWebtool. Квадратная матрица размером от 2×2 до 6×6 даёт развёрнутую и факторизованную формы многочлена, собственные значения с кратностями и пошаговые матричные вычисления.