Калькулятор закона Снелла

Калькулятор закона Снелла находит любую неизвестную величину в уравнении \( n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \) — угол преломления, угол падения, любой из показателей преломления или критический угол для полного внутреннего отражения. Выберите материал из встроенной библиотеки распространенных сред (вода, кронглас, алмаз, сердцевина и оболочка оптического волокна, сапфир и др.) или введите собственные показатели преломления. Вы сможете наблюдать за интерактивной диаграммой световых лучей с анимированными фотонами, а также увидеть скорость и длину волны света внутри каждой среды.

Как использовать этот Калькулятор закона Снелла

1. Выберите, что именно вы хотите рассчитать: угол преломления θ₂, угол падения θ₁, показатель преломления n₁ или n₂, либо критический угол для полного внутреннего отражения.
2. Укажите две среды. Используйте выпадающие списки для выбора стандартных материалов или выберите «Пользовательский» (Custom) и введите свой показатель преломления вручную.
3. Заполните известные вам углы. Поле ввода для искомой переменной заблокируется и станет серым автоматически.
4. Опционально — введите длину волны в вакууме в нанометрах (значение 589 нм соответствует классической желтой линии натрия D), чтобы также увидеть, как уменьшается длина волны внутри каждой среды.
5. Нажмите кнопку Вычислить и изучите результат, пошаговый математический вывод, анимированную схему лучей и дополнительные параметры, такие как угол поляризации Брюстера и скорость света в каждой среде.

Что делает этот калькулятор особенным

Уравнение закона Снелла

Когда свет пересекает границу раздела двух прозрачных сред, углы (измеряемые от нормали — перпендикуляра к границе раздела) связаны следующим соотношением:

\[ n_1 \sin\theta_1 \;=\; n_2 \sin\theta_2 \]

где \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления первой и второй сред, а \(\theta_1\) и \(\theta_2\) — угол падения и угол преломления соответственно. Показатель преломления среды определяется как отношение скорости света в вакууме к скорости света в этой среде, \(n = c / v\), поэтому более высокий показатель всегда означает, что свет распространяется медленнее.

Критический угол и полное внутреннее отражение

Когда свет пытается перейти из более плотной среды в менее плотную (n₁ > n₂), преломленный луч отклоняется дальше от нормали. По мере роста θ₁, угол θ₂ приближается к 90° — это значит, что преломленный луч начинает скользить вдоль самой границы. При достижении особого угла

\[ \theta_c \;=\; \arcsin\!\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right) \]

и выше него реального преломленного луча больше не существует — весь свет отражается обратно в среду 1. Это явление называется полным внутренним отражением, и именно оно выступает физической основой работы волоконно-оптических кабелей, призмы в биноклях, а также определяет то, почему алмазы возвращают так много света.

Угол Брюстера (Дополнительный результат)

Угол Брюстера — это угол падения, при котором свет, отраженный от прозрачной поверхности, полностью поляризован в направлении, перпендикулярном плоскости падения:

\[ \theta_B \;=\; \arctan\!\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right) \]

Солнцезащитные очки с поляризацией используют этот факт: блики, отраженные от воды, дорог и снега вблизи угла Брюстера, в основном поляризованы горизонтально, а вертикальный поляризатор в очках блокирует большую их часть. Фотографы используют круговой поляризационный фильтр по той же причине — чтобы убрать нежелательные отражения от стекол и водной глади.

Показатели преломления распространенных материалов (при 589 нм)

Пример задачи: Монета в бассейне

Свет от монеты, лежащей на дне плавательного бассейна, идет вверх через воду (n₁ = 1.333) и выходит в воздух (n₂ = 1.0003). Если свет исходит от монеты под углом 40° к вертикали (нормали), то угол, под которым он выйдет в воздух, равен:

\[ \theta_2 \;=\; \arcsin\!\left(\dfrac{1.333}{1.0003} \sin 40°\right) \;\approx\; 59.0° \]

Луч отклоняется в сторону от нормали (так как переходит из более плотной среды в менее плотную). Именно поэтому монета кажется расположенной ближе к поверхности и со смещением относительно ее реального положения. Если увеличить угол падения до θ₁ ≈ 48.6°, калькулятор переключится в режим полного внутреннего отражения — под таким пологим углом свет вообще не выходит из воды, из-за чего вы не сможете заглянуть внутрь бассейна сбоку, находясь под водой.

Пример задачи: Волоконно-оптический кабель

Типичное ступенчатое оптическое волокно состоит из сердцевины с n₁ ≈ 1.475 и оболочки с n₂ ≈ 1.460. Критический угол составляет:

\[ \theta_c \;=\; \arcsin\!\left(\dfrac{1.460}{1.475}\right) \;\approx\; 81.8° \]

Любой луч, который отражается внутри сердцевины под углом более 81.8° к нормали, полностью отражается от каждой стенки. Таким образом, свет, запущенный в торец волокна, остается запертым внутри по всей его длине и может преодолевать километры пути до возникновения значительных потерь. На этом физическом принципе построена вся современная сеть дальней интернет-связи.

Почему свет преломляется — интуиция через волновой фронт

Представьте себе волновой фронт света, падающий на границу под углом. Тот край волнового фронта, который первым входит в новую среду, замедляется (или ускоряется, если переход идет в среду с меньшим показателем) раньше, чем вся остальная часть волнового фронта. Этот дисбаланс скоростей вдоль волнового фронта разворачивает общее направление движения волны — точно так же, как строй марширующего оркестра меняет направление, когда шеренга наискосок переходит с ровного асфальта на вязкую грязь. Закон Снелла описывает строгую геометрию этого разворота.

Скорость света и длина волны в среде

Поскольку \(n = c/v\), скорость света в среде равна \(v = c/n\). В воде (n = 1.333) скорость составляет около 225 000 км/с, в кронгласе — около 197 500 км/с, а в алмазе — всего 124 000 км/с. Частота световых колебаний остается неизменной по обе стороны границы (так и должно быть — граница раздела не может создавать или уничтожать колебания), поэтому длина волны внутри среды уменьшается:

\[ \lambda_{\text{среды}} \;=\; \dfrac{\lambda_{\text{вакуума}}}{n} \]

Именно поэтому желтый натриевый свет с длиной волны 589 нм в воде укорачивается примерно до 442 нм, хотя человеческий глаз все равно воспринимает его как тот же самый желтый цвет.

Часто задаваемые вопросы

Что такое закон Снелла простыми словами?
Когда свет переходит из одного прозрачного материала в другой под углом, он преломляется (изменяет направление). Закон Снелла дает точный рецепт: произведение показателя преломления на синус угла (от нормали) одинаково с обеих сторон — n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂.

Что такое критический угол?
При переходе света из более плотной среды в менее плотную существует предельный угол падения, дальше которого преломленного луча не существует — весь свет полностью отражается назад. Этот угол называется критическим и рассчитывается как arcsin(n₂/n₁). Он лежит в основе работы оптоволокна.

Что такое угол Брюстера?
Это угол падения, при котором отраженный свет становится полностью поляризован перпендикулярно плоскости падения: θ_B = arctan(n₂/n₁). Поляризационные очки и фильтры работают благодаря тому, что блики от воды, стекол и дорог вблизи этого угла сильно поляризованы.

Почему свет преломляется при входе в воду?
Свет распространяется в воде медленнее, чем в воздухе. Когда волновой фронт подходит под углом, один его край замедляется раньше остальных, разворачивая направление волны ближе к нормали. Закон Снелла математически фиксирует точную величину этого разворота.

Изменяется ли длина волны света в среде?
Да. Частота при пересечении границы остается неизменной, но длина волны становится короче в n раз: λ_среды = λ_вакуума / n. Цвет, который вы видите, не меняется, потому что цвет задается частотой, а не длиной волны.

Может ли показатель преломления быть меньше 1?
Для видимого света в обычных материалах нет — n всегда ≥ 1, а для вакуума строго равен 1. Специально разработанные метаматериалы и некоторые особые среды (рентгеновское излучение в веществе, плазма) могут обладать фазовым индексом меньше 1 или даже отрицательным, но данный калькулятор ориентирован на стандартный оптический диапазон.

Почему алмазы так сильно блестят?
Алмаз имеет очень высокий показатель преломления (n ≈ 2.417), что обеспечивает малый критический угол — всего около 24.4°. Большая часть света, попадающего внутрь правильно ограненного бриллианта, падает на внутренние грани под углом, превышающим критический, испытывает полное внутреннее отражение, многократно переотражается внутри и выходит наружу через верхние грани, создавая неповторимую яркую «игру».