Калькулятор Описанной Окружности

Рассчитайте описанную окружность треугольника. Введите длины трех сторон или координаты трех вершин, чтобы найти радиус описанной окружности, центр, площадь, углы и просмотреть интерактивную диаграмму с пошаговыми формулами.

Embed Калькулятор Описанной Окружности Widget

О Калькулятор Описанной Окружности

Калькулятор описанной окружности находит параметры окружности, описанной вокруг любого треугольника. Описанная окружность — это единственная окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Введите длины трех сторон или координаты трех вершин, чтобы мгновенно вычислить радиус описанной окружности, положение центра, площадь треугольника, внутренние углы и многое другое, с интерактивной SVG-диаграммой и пошаговыми формулами.

Основные понятия описанной окружности

⊙

Описанная окружность

Единственная окружность, проходящая через все 3 вершины треугольника

⊕

Центр

Точка, равноудаленная от всех 3 вершин

⊥

Серединные перпендикуляры

Три линии, пересекающиеся в центре описанной окружности

↔

Радиус (R)

R = abc / (4K), где K — площадь треугольника

Формулы описанной окружности

Для треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром s = (a + b + c) / 2:

Свойство	Формула	Описание
Площадь треугольника (Герона)	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	Площадь по трем сторонам через полупериметр
Радиус описанной окружности	\(R = \frac{abc}{4K}\)	Радиус окружности, описанной вокруг треугольника
Площадь описанной окружности	\(A = \pi R^2\)	Площадь, ограниченная описанной окружностью
Длина окружности	\(C = 2\pi R\)	Периметр описанной окружности
Радиус вписанной окружности	\(r = \frac{K}{s}\)	Радиус окружности, вписанной в треугольник
Расстояние Эйлера	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	Расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей

Расположение центра по типу треугольника

Положение центра описанной окружности зависит от типа треугольника:

Остроугольный треугольник: Центр лежит внутри треугольника. Все углы меньше 90°, поэтому серединные перпендикуляры пересекаются внутри.
Прямоугольный треугольник: Центр лежит точно на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.
Тупоугольный треугольник: Центр лежит вне треугольника, со стороны, противоположной тупому углу. Это происходит потому, что серединные перпендикуляры расходятся наружу.

Как найти описанную окружность

Выберите метод ввода: Выберите «Три стороны», если известны длины сторон a, b, c, или «Три вершины», если у вас есть координаты каждой вершины.
Введите значения: Введите длины трех сторон или координаты (x, y) вершин A, B и C. Можно нажать на пример для автоматического заполнения образцовыми значениями.
Нажмите Рассчитать: Нажмите кнопку «Рассчитать описанную окружность».
Изучите результаты: Ознакомьтесь с радиусом R, координатами центра, площадью и длиной описанной окружности, площадью треугольника, углами, радиусом вписанной окружности и отношением R/r.
Изучите диаграмму: Переключайте слои для визуализации описанной окружности, серединных перпендикуляров, радиусов, вписанной окружности и меток.

Практическое применение

Описанная окружность имеет важные применения во многих областях. В геодезии и навигации она помогает определять местоположение с помощью триангуляции. В компьютерной графике триангуляция Делоне максимизирует минимальные углы, гарантируя, что ни одна вершина не лежит внутри описанной окружности любого треугольника. В инженерии описанные окружности определяют минимальные границы для треугольных компонентов. Описанная окружность также фундаментальна в алгоритмах вычислительной геометрии для генерации сеток и диаграмм Вороного.

Теорема Эйлера и описанная окружность

Неравенство Эйлера гласит, что для любого треугольника радиус описанной окружности R как минимум в два раза больше радиуса вписанной окружности r: R ≥ 2r. Равенство достигается только для равносторонних треугольников. Кроме того, формула Эйлера связывает расстояние d между центром описанной окружности O и центром вписанной окружности I как \(d^2 = R(R - 2r)\). Этот элегантный результат связывает две самые фундаментальные окружности, связанные с треугольником, и раскрывает глубокие свойства геометрии треугольника.

FAQ

Что такое описанная окружность?

Описанная окружность — это единственная окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Её центр называется центром описанной окружности, а её радиус — радиусом описанной окружности. У каждого невырожденного треугольника есть ровно одна описанная окружность.

Как найти радиус описанной окружности треугольника?

Радиус R треугольника со сторонами a, b, c и площадью K вычисляется как R = abc / (4K). Сначала найдите площадь по формуле Герона: K = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), где s = (a+b+c)/2. Затем разделите произведение трех сторон на учетверенную площадь.

Где находится центр описанной окружности треугольника?

Центр описанной окружности — это точка пересечения трех серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В остроугольном треугольнике он находится внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы, а в тупоугольном — снаружи треугольника, за самой длинной стороной.

У каждого ли треугольника есть описанная окружность?

Да, любой невырожденный треугольник (три точки, не лежащие на одной прямой) имеет ровно одну описанную окружность. Это фундаментальная теорема евклидовой геометрии: три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют окружность.

Какова связь между радиусом описанной и вписанной окружностей?

Неравенство Эйлера утверждает, что R ≥ 2r для любого треугольника, где R — радиус описанной, а r — радиус вписанной окружности. Равенство возможно только для равностороннего треугольника. Формула Эйлера также определяет расстояние между двумя центрами: d² = R(R − 2r), где d — расстояние между ними.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор Описанной Окружности" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-описанной-окружности/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 2026-04-03

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.