Калькулятор модуля вектора

Рассчитайте модуль (длину или евклидову норму) 2D, 3D или n-мерного вектора. Получите пошаговое вычисление, показывающее каждый возведенный в квадрат компонент, сумму под радикалом и окончательный результат извлечения квадратного корня с интерактивной векторной диаграммой.

Embed Калькулятор модуля вектора Widget

О Калькулятор модуля вектора

Калькулятор модуля вектора вычисляет длину (евклидову норму) вектора в любой размерности. Введите компоненты вектора и мгновенно получите модуль, единичный вектор, направляющие углы, детальное пошаговое вычисление квадратного корня, анализ вклада компонентов и интерактивную диаграмму, показывающую вектор и его проекции.

Формула модуля

Для вектора $\vec{v} = \langle v_1, v_2, \ldots, v_n \rangle$ модуль (или евклидова норма) равен:

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$$

Это прямое обобщение теоремы Пифагора. В 2D $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ дает гипотенузу прямоугольного треугольника, образованного компонентами. В 3D формула расширяется до $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Модуль по размерностям

2D-вектор

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Длина вектора на плоскости xy. Эквивалентна расстоянию от начала координат до точки (x, y).

3D-вектор

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Используется в физике, инженерии и 3D-графике для пространственных расчетов.

Единичный вектор

$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
Вектор с модулем 1, направленный в ту же сторону. Используется для представления чистого направления.

n-мерный вектор

$|\vec{v}| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$
Та же формула работает в любой размерности, применяется в науке о данных и машинном обучении.

Справочник основных формул

Формула	Выражение	Описание
Модуль	$\|\vec{v}\| = \sqrt{\sum v_i^2}$	Длина вектора (норма L2)
Единичный вектор	$\hat{v} = \vec{v} / \|\vec{v}\|$	Нормированный вектор направления
Направляющий косинус	$\cos \alpha_i = v_i / \|\vec{v}\|$	Косинус угла с каждой из осей
Расстояние	$d = \|\vec{B} - \vec{A}\|$	Расстояние между двумя точками

Практическое применение

🚀

Физика

Скорость из вектора скорости, модуль силы, напряженность поля

🎮

Геймдев

Проверка расстояния, расчет столкновений, нормализация

🤖

Масштабирование признаков, метрики расстояния, нормы градиента

📡

Обработка сигналов

Энергия сигнала, расчеты RMS, амплитуда шума

🗺

Навигация

Смещение, расстояние по прямой, пеленг

📊

Data Science

Евклидово расстояние в кластеризации, сходство

Как пользоваться калькулятором модуля вектора

Выберите размерность — выберите 2D, 3D или «Своя» для более высоких размерностей. Либо нажмите на пример для автозаполнения.
Введите компоненты — введите значения через запятую (например, 3, 4 для 2D или 1, 2, 3 для 3D). Также поддерживаются пробелы, точки с запятой и международные форматы чисел.
Нажмите «Вычислить» — нажмите кнопку «Вычислить модуль» для проведения расчетов.
Изучите результаты — посмотрите модуль, единичный вектор, направляющие углы, пошаговые формулы, анализ вклада компонентов и интерактивную диаграмму с переключаемыми слоями.

Часто задаваемые вопросы

Что такое модуль вектора?

Модуль (также называемый длиной, нормой или абсолютным значением) вектора — это скалярная величина, представляющая расстояние от начала координат до точки, определяемой вектором. Для вектора v = (v₁, v₂, ..., vₙ) модуль равен √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²) согласно формуле евклидова расстояния, производной от теоремы Пифагора.

Как найти модуль 3D-вектора?

Для 3D-вектора v = (x, y, z) модуль равен |v| = √(x² + y² + z²). Возведите каждый компонент в квадрат, сложите их и извлеките квадратный корень из полученной суммы. Например, для v = (3, 4, 0) модуль |v| = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5.

Что такое единичный вектор и как его найти?

Единичный вектор — это вектор с модулем, равным 1, который указывает в том же направлении, что и исходный вектор. Чтобы найти его, разделите каждый компонент вектора на его модуль: v̂ = v / |v|. Единичные векторы используются для обозначения чистого направления. Стандартные единичные векторы: î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0) и k̂ = (0,0,1).

Может ли модуль вектора быть равен нулю?

Да. Единственный вектор с нулевым модулем — это нулевой вектор, у которого все компоненты равны 0. Нулевой вектор не имеет направления и является аддитивной единицей в векторных пространствах. Его единичный вектор не определен, так как на ноль делить нельзя.

В чем разница между модулем и расстоянием?

Модуль вектора показывает расстояние от начала координат до конца этого вектора. Расстояние между двумя точками A и B равно модулю вектора, проведенного от A к B: d(A,B) = |B − A|. В обоих случаях используется одна и та же евклидова формула, но модуль — это характеристика одного вектора, а расстояние связывает две разные точки.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор модуля вектора" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-модуля-вектора/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 2026-04-10

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.

Калькулятор модуля вектора

О Калькулятор модуля вектора

Формула модуля

Модуль по размерностям

2D-вектор

3D-вектор

Единичный вектор

n-мерный вектор

Справочник основных формул

Практическое применение

Как пользоваться калькулятором модуля вектора

Часто задаваемые вопросы

Линейная алгебра:

Избранные инструменты:

Формула	Выражение	Описание
Модуль	\(\|\vec{v}\| = \sqrt{\sum v_i^2}\)	Длина вектора (норма L2)
Единичный вектор	\(\hat{v} = \vec{v} / \|\vec{v}\|\)	Нормированный вектор направления
Направляющий косинус	\(\cos \alpha_i = v_i / \|\vec{v}\|\)	Косинус угла с каждой из осей
Расстояние	\(d = \|\vec{B} - \vec{A}\|\)	Расстояние между двумя точками