Калькулятор тора

Рассчитайте объем, площадь поверхности и геометрические свойства тора (фигуры в форме пончика). Введите большой радиус (R) и малый радиус (r), чтобы получить мгновенные результаты с пошаговыми формулами и интерактивной 3D-диаграммой сечения.

Калькулятор тора

Embed Калькулятор тора Widget

О Калькулятор тора

Калькулятор тора вычисляет объем, площадь поверхности и геометрические свойства тора — трехмерной поверхности вращения в форме пончика. Тор образуется путем вращения окружности радиуса r (малый радиус или радиус трубки) вокруг оси, находящейся на расстоянии R (большой радиус) от центра этой окружности. Введите большой и малый радиусы, чтобы мгновенно получить результаты с пошаговыми формулами и интерактивной схемой поперечного сечения.

Три типа тора

🍩

Кольцевой тор

R > r

Классическая форма пончика с видимым отверстием в центре. Самый распространенный тип в повседневной жизни.

📯

Самосоприкасающийся тор

R = r

Трубка едва касается самой себя в центре — отверстия нет, но и самопересечения тоже.

🌀

Самопересекающийся тор

R < r

Трубка перекрывает саму себя, создавая самопересекающуюся поверхность без отверстия.

Основные формулы для тора

Для тора с большим радиусом R (от центра тора до центра трубки) и малым радиусом r (радиус трубки):

Свойство	Формула	Описание
Объем	\(V = 2\pi^2 R r^2\)	Замкнутое трехмерное пространство
Площадь поверхности	\(A = 4\pi^2 R r\)	Общая внешняя поверхность
Внешний радиус	\(R_{\text{внеш}} = R + r\)	От центра тора до самой дальней точки
Внутренний радиус	\(R_{\text{внутр}} = R - r\)	От центра тора до края отверстия
Отношение V/A	\(\frac{V}{A} = \frac{r}{2}\)	Зависит только от радиуса трубки

Применение в реальном мире

🍩

Пончики и бублики

Классические продукты питания в форме тора

🛞

Шины и камеры

Тороидальная форма пневматических шин

💍

Кольца и украшения

Перстни следуют геометрии тора

🔬

Реакторы Токамак

Тороидальная камера для термоядерного синтеза

🧲

Тороидальные катушки

Индукторы и трансформаторы

🏊

Круги для плавания

Надувные кольца для воды

Понимание геометрии тора

Математически тор определяется как поверхность вращения: возьмите окружность радиуса r и вращайте ее вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и окружность, но не пересекающей ее (для кольцевого тора). Расстояние от оси до центра вращающейся окружности — это большой радиус R. Параметрические уравнения тора с центром в начале координат и осью z в качестве оси симметрии имеют вид:

\(x = (R + r\cos\theta)\cos\phi\), \(y = (R + r\cos\theta)\sin\phi\), \(z = r\sin\theta\)

где \(\theta\) и \(\phi\) лежат в диапазоне от 0 до \(2\pi\). Формула объема \(V = 2\pi^2 R r^2\) может быть выведена с использованием теоремы Паппа — Гюльдена: объем тела вращения равен площади поперечного сечения (\(\pi r^2\)), умноженной на расстояние, пройденное центроидом (\(2\pi R\)).

Как пользоваться калькулятором тора

Введите большой радиус (R): Введите расстояние от центра тора до центра трубки или выберите готовый пример, такой как Пончик, Шина или Кольцо.
Введите малый радиус (r): Введите радиус поперечного сечения трубки.
Нажмите «Рассчитать тор»: Нажмите кнопку, чтобы мгновенно вычислить все параметры.
Просмотрите результаты: Ознакомьтесь с объемом, площадью поверхности, внутренним/внешним радиусами и другими свойствами. Используйте переключатели на схеме, чтобы показать или скрыть размеры, обозначения радиусов и ось вращения.

Тор против сферы и цилиндра

Сфера — это поверхность, каждая точка которой равноудалена от центра; у нее нет отверстия. Цилиндр имеет два плоских круглых основания, соединенных прямой поверхностью. Тор не имеет плоских граней и характеризуется наличием отверстия в центре (для кольцевых торов). Топологически тор имеет род 1 (одно отверстие), в то время как сфера имеет род 0. Это фундаментальное различие означает, что эйлерова характеристика тора равна 0 (против 2 у сферы), а интеграл его полной гауссовой кривизны равен 0 согласно теореме Гаусса — Бонне.

FAQ

Что такое тор?

Тор — это трехмерная поверхность вращения в форме пончика. Он образуется путем вращения окружности (с малым радиусом r) вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и окружность, на расстоянии R (большой радиус) от центра окружности. В результате получается кольцеобразная поверхность с отверстием в центре (при R > r).

Как рассчитать объем тора?

Объем тора V = 2π²Rr², где R — большой радиус (от центра тора до центра трубки), а r — малый радиус (радиус трубки). Эта формула вытекает из теоремы Паппа о центроиде: умножьте площадь поперечного сечения (πr²) на расстояние, которое проходит его центроид (2πR).

Какова площадь поверхности тора?

Площадь поверхности тора A = 4π²Rr, где R — большой радиус, а r — малый радиус. Это также можно вывести из теоремы Паппа: умножьте длину окружности поперечного сечения (2πr) на расстояние, которое проходит его центроид (2πR).

Какие существуют типы торов?

Существует три типа: кольцевой тор (R > r) имеет видимое отверстие в центре, как пончик; самосоприкасающийся тор (R = r) имеет внутреннюю поверхность, едва касающуюся самой себя в центре, без отверстия и самопересечения; и самопересекающийся тор (R < r) пересекается сам с собой, потому что трубка шире, чем расстояние до оси.

В чем разница между большим и малым радиусом?

Большой радиус R — это расстояние от центра тора до центра поперечного сечения трубки. Малый радиус r — это радиус самой трубки. Вместе они определяют общий размер и пропорции тора. Отношение R/r определяет тип тора и его внешний вид.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор тора" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-тора/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 2026-04-02

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.