Калькулятор Жордановой Нормальной Формы

О Калькулятор Жордановой Нормальной Формы

Калькулятор жордановой нормальной формы строит жорданову каноническую форму J квадратной матрицы A вместе с обратимой матрицей перехода P, удовлетворяющей отношению подобия P⁻¹AP = J. В отличие от диагонализации, которая невозможна для дефектных матриц, жорданова форма существует для любой квадратной матрицы над алгебраически замкнутым полем — она заменяет диагональное представление последовательностью жордановых блоков, каждый из которых является почти диагональной матрицей с собственным значением на диагонали и единицами на наддиагонали. Этот инструмент выполняет все вычисления с использованием точной рациональной арифметики, поэтому полученные J и P гарантированно верны — округления с плавающей запятой исключены.

Что такое жорданова нормальная форма?

Для n × n матрицы A над полем комплексных чисел жорданова нормальная форма J представляет собой блочно-диагональную матрицу:

где каждый жорданов блок J_k(λ) — это матрица размера k × k с λ на главной диагонали, единицами на наддиагонали и нулями в остальных позициях:

Собственные значения λ_i могут повторяться в разных блоках; значение имеет именно структура размеров блоков, которая является полным инвариантом подобия матрицы A.

Зачем нужна жорданова форма, если есть диагонализация?

Не каждая квадратная матрица является диагонализируемой. Матрица не может быть диагонализирована, если у какого-либо собственного значения количество независимых собственных векторов меньше его алгебраической кратности — такую матрицу называют дефектной. Жорданова форма устраняет этот разрыв путем введения обобщенных собственных векторов, предоставляя канонический вид, подходящий для любой матрицы.

Ключевые понятия

Алгебраическая против геометрической кратности

Алгебраическая кратность собственного значения λ — это его кратность как корня характеристического многочлена p_A(λ) = det(λI − A). Геометрическая кратность — это размерность собственного подпространства или, что эквивалентно, dim ker(A − λI). Количество жордановых блоков, связанных с λ, равно его геометрической кратности, а суммарный размер этих блоков равен его алгебраической кратности.

Обобщенные собственные векторы и цепочки

Вектор v называется обобщенным собственным вектором ранга k для собственного значения λ, если (A − λI)^kv = 0, но (A − λI)^k−1v ≠ 0. Применение оператора N = (A − λI) к вектору ранга k порождает вектор ранга k−1, таким образом мы получаем жорданову цепочку:

Расположение цепочки в порядке v₁, v₂, …, v_k в качестве столбцов матрицы P создает жорданов блок размера k в соответствующих строках/столбцах матрицы J.

Лестница ядер и подсчет блоков

Для каждого собственного значения λ определим возрастающую последовательность d_k = dim ker((A − λI)^k). Эта последовательность не убывает и стабилизируется на значении алгебраической кратности λ. Количества жордановых блоков каждого размера извлекаются из этой лестницы:

Это расчет по диаграмме Юнга, и он является точным — здесь нет места догадкам. Калькулятор выводит эту лестницу для каждого собственного значения, чтобы вы могли проследить за разложением шаг за шагом.

Минимальный многочлен

Минимальный многочлен m_A(λ) — это нормированный многочлен наименьшей степени, такой что m_A(A) = 0. Имея жорданову форму, его легко определить:

Матрица диагонализируема тогда и только тогда, когда ее минимальный многочлен не имеет кратных корней, т. е. каждый жорданов блок имеет размер 1.

Как работает этот калькулятор

1. Разбор матрицы — целые числа, дроби (например, 1/2) или десятичные значения принимаются и преобразуются в точные рациональные числа (fractions.Fraction).
2. Вычисление характеристического многочлена с помощью алгоритма Фаддеева — Леверье, который избегает символьного разложения определителя и работает за время O(n⁴) с точной арифметикой.
3. Поиск рациональных собственных значений через теорему о рациональных корнях — каждый рациональный корень p/q примитивного многочлена с целыми коэффициентами удовлетворяет условию p ∣ свободный член и q ∣ старший коэффициент. Каждый найденный корень выносится за скобки, и поиск повторяется.
4. Построение лестницы ядер для каждого значения λ путем вычисления dim ker((A − λI)^k) методом Гаусса над полем рациональных чисел, пока последовательность не стабилизируется.
5. Выбор векторов — вершин цепочек от самого большого ядра к самому маленькому, расширяя базис всякий раз, когда требуется новый жорданов блок. Каждая вершина затем последовательно умножается на (A − λI) для получения векторов всей цепочки.
6. Сборка J и P путем группировки цепочек по собственным значениям (сначала блоки наибольшего размера). Векторы цепочек становятся столбцами P, а J заполняется собственными значениями и единицами на наддиагонали.
7. Проверка точного равенства P⁻¹ A P = J с использованием целочисленной арифметики — результат гарантирован, так как все промежуточные вычисления рациональны.

Пример решения

Рассмотрим дефектную матрицу 3 × 3:

• Характеристический многочлен: \(p_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\). Единственное собственное значение λ = 5 с алгебраической кратностью 3.
• Лестница ядер для λ = 5: \(d_1 = 1\), \(d_2 = 2\), \(d_3 = 3\). Приращения 1, 1, 1 → один жорданов блок размера 3.
• Жорданова форма: \(J = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\), геометрическая кратность 1, индекс 3.
• Минимальный многочлен: \(m_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\) — совпадает с характеристическим, так как имеется только один жорданов блок.

Применение жордановой нормальной формы

• Матричные экспоненты и линейные ОДУ — для систем с постоянными коэффициентами x′ = Ax аналитическое решение имеет вид \(e^{tA}x_0\), а \(e^{tA}\) легко вычислить, когда A приведена к жордановой форме.
• Степени матрицы — \(A^k = P J^k P^{-1}\), причем для степеней жордановых блоков существуют явные формулы.
• Функциональное исчисление — \(f(A) = P f(J) P^{-1}\) обобщается на произвольные аналитические функции f, определенные в окрестности спектра.
• Теория управления — устойчивость линейных систем определяется собственными значениями и размерами жордановых блоков (в пограничных случаях важен размер наибольшего блока для критического значения).
• Классификация линейных операторов — две матрицы подобны тогда и только тогда, когда у них совпадает жорданова форма, что делает её полным инвариантом.

Часто задаваемые вопросы

Что такое жорданова нормальная форма матрицы?

Жорданова нормальная форма (также называемая жордановой канонической формой) — это почти диагональная матрица J, подобная исходной матрице A, что означает существование обратимой матрицы P, такой что P⁻¹AP = J. На диагонали J находятся собственные значения A, а над диагональю — единицы внутри жордановых блоков в случаях, когда A не диагонализируема. Каждая квадратная матрица над комплексными числами имеет жорданову форму, единственную с точностью до порядка блоков.

Когда матрица не диагонализируема?

Матрица не является диагонализируемой, если хотя бы одно собственное значение имеет меньше линейно независимых собственных векторов, чем его алгебраическая кратность. Этот дефицит восполняется жордановыми блоками размера 2 или более. Эквивалентно: матрица не диагонализируема, если её минимальный многочлен имеет кратные корни.

Как определяются обобщенные собственные векторы?

Обобщенный собственный вектор ранга k для λ — это ненулевой вектор v, такой что (A − λI)^kv = 0, но (A − λI)^k−1v ≠ 0. Применяя (A − λI) к такому вектору, мы получаем вектор ранга k−1, формируя цепочку. Эти цепочки становятся столбцами матрицы перехода P.

В чем разница между алгебраической и геометрической кратностью?

Алгебраическая кратность λ — это число его вхождений как корня характеристического многочлена. Геометрическая кратность — размерность собственного подпространства (число независимых векторов). Геометрическая кратность равна числу жордановых блоков для λ, а алгебраическая — сумме их размеров.

Как этот калькулятор находит размеры блоков?

Для каждого λ вычисляются размерности d_k = dim ker((A − λI)^k) до стабилизации на алгебраической кратности. Число блоков размера не менее k равно d_k − d_k−1. Попарная разность этих значений дает точное количество блоков каждого размера.

Работает ли калькулятор с иррациональными или комплексными числами?

Калькулятор использует точную рациональную арифметику. Если характеристический многочлен не разлагается полностью над ℚ, инструмент покажет приближенные комплексные значения, но пропустит построение жордановой формы, так как для точного определения блоков необходимы точные значения.

Что такое минимальный многочлен и как он здесь вычисляется?

Минимальный многочлен m(λ) — это нормированный многочлен наименьшей степени, такой что m(A) = 0. Он равен произведению выражений (λ − λ_i)^index_i, где индекс — размер самого большого блока для λ_i. Калькулятор берет индекс напрямую из структуры блоков.

Дополнительная литература

• Жорданова нормальная форма — Википедия
• Обобщённый собственный вектор — Википедия
• Минимальный многочлен — Википедия
• Алгоритм Фаддеева — Леверье — Википедия