Построитель 3D-поверхностей

Построитель 3D-поверхностей строит график любой функции двух переменных \( z = f(x, y) \) в виде полностью интерактивного 3D-ландшафта прямо в вашем браузере. Перетаскивайте курсор внутри области просмотра для вращения поверхности, используйте колесико мыши или щипок для масштабирования, а также перетаскивание правой кнопкой мыши (или панорамирование двумя пальцами на мобильных устройствах) для перемещения вида. Введите собственную функцию с полной поддержкой sin, cos, exp, log, sqrt, констант \( \pi \) и \( e \), а также привычных удобств, таких как x^2 или 2xy — либо выберите один из десяти пресетов для мгновенной визуализации классического седла, параболоида, sinc-функции («мексиканская шляпа»), обезьяньего седла, яичного лотка, гауссова купола и многого другого. Выбирайте между изометрической и перспективной проекцией, шестью перцепционными цветовыми картами и тремя стилями каркаса, а затем экспортируйте текущий ракурс в виде PNG высокого разрешения.

Как работает построение 3D-поверхностей

Галерея классических поверхностей

Что делает этот 3D-построитель особенным

Синтаксис выражений — краткий справочник

Как читать 3D-поверхность

График поверхности кодирует огромное количество информации с помощью формы и цвета одновременно. Несколько паттернов становятся легко узнаваемыми с практикой:

• Критические точки — это места, где поверхность имеет горизонтальную касательную плоскость: локальные максимумы выглядят как купола, локальные минимумы — как дно чаши, а седловые точки изгибаются вверх в одном направлении и вниз в перпендикулярном. Выберите пресет «Седло» и поверните график: вдоль одной оси это будет парабола ветвями вверх, вдоль другой — ветвями вниз.
• Линии уровня (изолинии) появляются естественным образом, когда используется расходящаяся или ландшафтная цветовая карта — полосы одного цвета обозначают линии постоянного значения \( z \).
• Направление градиента — это направление наискорейшего подъема в каждой точке. Визуально оно перпендикулярно линиям уровня и направлено в сторону более теплых цветов.
• Симметрия очевидна в 3D: \( z = x^2 + y^2 \) радиально симметрична (чаша), \( z = x^2 - y^2 \) имеет только зеркальные симметрии (седло), а \( z = x^3 - 3xy^2 \) обладает красивой тройной вращательной симметрией (обезьянье седло).

От седла до sinc-функции: тур в один клик

Галерея пресетов — это наглядный тур по наиболее популярным поверхностям многомерного анализа. Рекомендуемая последовательность для первого знакомства:

1. Параболоид \( z = x^2 + y^2 \) — самая простая 3D-поверхность. Чаша, радиально симметричная, с одним минимумом в начале координат.
2. Седло \( z = x^2 - y^2 \) — культовая форма чипсов Pringles. Попробуйте цветовую карту cool-warm, чтобы сразу увидеть разделение на положительные и отрицательные значения.
3. Гиперболический параболоид \( z = xy \) — седло, повернутое на 45°. Та же форма, другая ориентация.
4. Обезьянье седло \( z = x^3 - 3xy^2 \) — три ската вокруг начала координат вместо двух. Названо так потому, что обезьяне понадобилось бы третье углубление для хвоста.
5. Гауссиан \( z = e^{-(x^2+y^2)} \) — двумерная колоколообразная кривая. Основа статистики, обработки сигналов и физики.
6. Sinc-функция «мексиканская шляпа» \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2}/\sqrt{x^2+y^2} \) — радиальная sinc-функция. Встречается в фурье-оптике, дифракционных картинах и вейвлетах.
7. Яичный лоток \( z = \sin x \sin y \) — периодическая функция в двух направлениях. Включите каркасную сетку, чтобы увидеть, как линии сетки выравниваются по буграм.
8. Волны \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2} \) — концентрические волны, расходящиеся из начала координат. Попробуйте широкую область определения от −8 до 8.

Практическое применение

• Многомерный анализ: визуализация частных производных, градиентов, критических точек и множителей Лагранжа без необходимости каждый раз рисовать их от руки.
• Физика: поверхности потенциальной энергии, интенсивность электромагнитных полей, распределение давления жидкости и квантовые волновые функции — все это описывается уравнением \( z = f(x, y) \).
• Машинное обучение: ландшафты функций потерь вокруг двумерного подпространства весов помогают понять, почему работает градиентный спуск (и почему седловые точки создают проблемы).
• Компьютерная графика: карты высот для ландшафтов представляют собой именно это — функцию \( h(x, y) \), разбитую по регулярной сетке и триангулированную.
• Гражданское строительство: модели высот для анализа рельефа, водосборных бассейнов плотин и оценки объемов земляных работ.
• Визуализация данных: любая величина, зависящая от двух независимых переменных (температура по всей стране, продажи по регионам и месяцам, приспособленность по двум гиперпараметрам), естественным образом визуализируется в виде поверхности.

Советы для красивых графиков

• Подбирайте область определения под функцию. Многочлены обычно хорошо смотрятся в диапазоне от −3 до 3. Осциллирующим функциям, таким как sinc, нужна широкая область (от −8 до 8), чтобы раскрыть волны. Используйте от −1 до 1, чтобы увеличить отдельное седло вблизи начала координат.
• Выбирайте правильную цветовую карту. Используйте cool-warm для любой поверхности с положительными и отрицательными областями — белая середина мгновенно отметит нулевой уровень. Используйте viridis или plasma для неотрицательных поверхностей. Используйте terrain для карт высот в ландшафтном стиле.
• Отключайте каркасную сетку для финального рендеринга. Тонкая каркасная сетка отлично подходит для обучения («чтобы видеть структуру»). Для изображений публикационного качества отключите каркас вовсе и увеличьте разрешение до высокого (High) или ультравысокого (Ultra).
• Автовращение позволяет записывать отличные анимации. Включите автовращение и запустите запись экрана — это идеальный способ вставить вращающуюся поверхность в презентацию без лишних настроек.
• Слишком большие области определения могут сделать поверхность плоской. Если ваша функция возвращает огромные значения у краев, детали внутри могут сжаться и стать невидимыми. Либо уменьшите область определения, либо масштабируйте функцию (например, \( z / 100 \)), чтобы вернуть детали в поле зрения.

Часто задаваемые вопросы