Калькулятор Электрического Поля

Калькулятор электрического поля вычисляет напряженность электрического поля, создаваемого одним или несколькими точечными зарядами, используя формулу \( E = k_{e}\,q / (\varepsilon_{r}\, r^{2}) \) для одиночного источника и полную векторную суперпозицию \( \vec{E}_{\text{net}} = \sum_{i} \vec{E}_{i} \) для задач с несколькими зарядами. Переключайтесь между режимом «Одиночный заряд» (нахождение E, q или r в одной форме) и режимом «Несколько зарядов» (размещение до шести зарядов в любом месте на 2D-плоскости и определение результирующего поля в любой контрольной точке P), вводите заряды в кулонах, микрокулонах, нанокулонах или элементарных зарядах e, и калькулятор вернет величину поля в В/м и Н/Кл, компоненты Eₓ и Eᵧ, угол направления θ, электрический потенциал V в контрольной точке, силу, действующую на пробный заряд 1 мкКл, а также пошаговый вывод формул в LaTeX. Интерактивный SVG-рисунок перерисовывает сферы зарядов (красные для +, синие для −), стрелки вкладов каждого заряда и результирующий вектор чистого поля прямо по мере ввода данных.

Как использовать этот Калькулятор электрического поля

1. Выберите режим наверху. Режим Одиночный точечный заряд использует аналитическую формулу \( E = kq/r^{2} \). Режим Суперпозиция нескольких зарядов позволяет разместить до шести зарядов на 2D-плоскости и считывает результирующее векторное поле в любой выбранной контрольной точке.
2. В одиночном режиме выберите, какую величину нужно найти (E, q или r) — соответствующее поле ввода скроется автоматически, чтобы вы случайно не перегрузили задачу избыточными условиями. Введите оставшиеся две величины в удобных для вас единицах измерения.
3. В многозарядном режиме заполните по одной строке для каждого исходного заряда (значение + единица измерения + x + y). Оставьте строку пустой, чтобы пропустить этот слот. Затем введите координаты контрольной точки (x, y) и общую единицу измерения координат.
4. Выберите окружающую среду. Вакуум и воздух оставляют поле неизменным. Вода при εᵣ ≈ 80 экранирует поле примерно на два порядка. Выберите Пользовательская εᵣ для нестандартного диэлектрика.
5. Нажмите Рассчитать и изучите величину поля, направление, вклады отдельных зарядов, пошаговый вывод и анимированную диаграмму линий поля / суперпозиции.

Что делает этот калькулятор особенным

Формула в одну строку

Для одиночного точечного заряда величиной \( q \) на расстоянии \( r \) внутри среды с относительной диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon_{r} \) величина электрического поля составляет

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

где \( k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) Н·м²/Кл² — постоянная Кулона. Поле представляет собой вектор, направленный радиально наружу от положительного исходного заряда и радиально внутрь к отрицательному — то есть в том направлении, в котором толкался бы (или притягивался) положительный пробный заряд.

Для множества зарядов, согласно принципу суперпозиции, чистое поле в любой точке представляет собой векторную сумму отдельных вкладов:

\[ \vec{E}_{\text{net}}(\vec{r}) \;=\; \sum_{i} k_{e}\,\dfrac{q_{i}}{\varepsilon_{r}\,|\vec{r}-\vec{r}_{i}|^{2}}\,\hat{r}_{i} \]

Калькулятор вычисляет каждое \( \vec{E}_{i} \) отдельно, раскладывает его на компоненты Eₓ и Eᵧ, суммирует их покомпонентно, а затем восстанавливает величину \(|E| = \sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) и направление \( \theta = \arctan(E_{y}/E_{x}) \).

Пример решения: 1 мкКл на 10 см

• \( E = (8.9875 \times 10^{9}) \times (1 \times 10^{-6}) / (0.10)^{2} \approx 8.99 \times 10^{5}\) В/м — около 900 кВ/м.
• Поле направлено наружу от положительного заряда. Свободный электрон, помещенный туда, испытывал бы силу \( F = qE \approx 1.44 \times 10^{-13}\) Н, направленную к источнику.
• Электрический потенциал на этом расстоянии: \( V = kq/r \approx 89.9\) кВ — это объясняет, почему даже небольшой проводник со статическим зарядом может дать вам ощутимый удар.

Пример решения: Электрический диполь

Разместим \(+1\) мкКл в точке \((-2\) см, 0) и \(-1\) мкКл в точке \((+2\) см, 0). Контрольная точка находится в середине диполя \((0, 1\) см)\) чуть выше оси.

• Расстояние от каждого заряда до P: \( r = \sqrt{2^{2}+1^{2}}\) см \(= \sqrt{5}\) см ≈ 2.24 см.
• Каждый вклад имеет величину \( |E_{i}| = kq/r^{2} \approx 1.8 \times 10^{7}\) В/м.
• Y-компоненты взаимно уничтожаются в силу симметрии; x-компоненты складываются вдоль направления −x (к отрицательному заряду). Результирующее поле направлено горизонтально с величиной примерно \( 2 \times |E_{i}| \cos\theta \), где \(\cos\theta = 2/\sqrt{5}\).
• Это классическое «дипольное поле», с которым вы будете встречаться каждый раз при изучении полярных молекул, антенн или ЯМР.

Электрическое поле против электрической силы и электрического потенциала

Эти три величины описывают взаимосвязанные, но разные вещи:

• Электрическое поле \(\vec{E}\) (В/м или Н/Кл) — сила на единицу положительного пробного заряда в точке. Существует даже если пробный заряд отсутствует. Векторная величина.
• Электрическая сила \(\vec{F} = q\vec{E}\) (ньютоны) — то, что реально происходит с зарядом \(q\), когда вы помещаете его в поле. Векторная величина.
• Электрический потенциал \(V\) (вольты) — работа на единицу положительного пробного заряда по переносу заряда из бесконечности в эту точку. Скалярная величина. Его отрицательный градиент — это электрическое поле: \(\vec{E} = -\nabla V\).

Калькулятор возвращает все три параметра, чтобы вы могли перепроверить свое понимание.

Типичные значения величины электрического поля

Советы по задачам с несколькими зарядами

• Сначала используйте симметрию. Если заряды расположены симметрично относительно контрольной точки, некоторые компоненты точно сократятся. Калькулятор подтвердит это — вы увидите, что Eₓ или Eᵧ окажутся равны (или очень близки) к нулю.
• Выбирайте контрольную точку обдуманно. Выбор ее на оси симметрии упрощает математику (и позволяет проверить правильность работы калькулятора).
• Следите за знаками. Стрелка положительного вклада направлена от источника к контрольной точке. Стрелка отрицательного вклада направлена от контрольной точки к источнику. Ошибка в знаках переворачивает итоговое направление на 180°.
• Единица координат является общей. Все шесть зарядов и контрольная точка используют одну и ту же единицу измерения координат, которую вы выбрали внизу раздела для нескольких зарядов. Это сохраняет согласованность геометрии.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула электрического поля точечного заряда?
\( E = k_{e}\,q / r^{2} \), где \(k_{e} \approx 8.9875 \times 10^{9}\) Н·м²/Кл². Поле направлено наружу от положительного заряда и внутрь к отрицательному.

Каковы единицы измерения электрического поля?
В СИ: В/м (вольт на метр), что эквивалентно Н/Кл (ньютон на кулон). Калькулятор принимает обе единицы и конвертирует их внутри системы.

Как сложить поля от нескольких зарядов?
Используйте векторную суперпозицию: вычислите вклад каждого заряда как 2D-вектор, сложите x-компоненты и y-компоненты отдельно, затем восстановите общую величину как \(\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) и направление как \(\arctan(E_{y}/E_{x})\). Режим нескольких зарядов этого калькулятора автоматизирует именно этот процесс.

В чем разница между электрическим полем и электрической силой?
Поле описывает влияние исходного заряда на окружающее пространство. Сила \( F = qE \) — это то, что происходит, когда вы помещаете другой заряд \(q\) в это поле. Поле существует повсюду, сила же действует только на реально присутствующие заряды.

Меняет ли среда между исходными зарядами поле?
Да. Поле делится на относительную диэлектрическую проницаемость εᵣ среды. Для воздуха ≈ 1, для воды ≈ 80. Тот же исходный заряд создает в воде поле, которое примерно в 80 раз слабее, чем в вакууме — именно поэтому ионные соли так легко растворяются в воде.

Какова напряженность диэлектрического пробоя воздуха?
Около 3 × 10⁶ В/м (3 МВ/м) для сухого воздуха на уровне моря. Выше этого значения воздух ионизируется и геометрия искрит. Калькулятор отмечает любой результат выше этого порога.

Можно ли найти исходный заряд или расстояние?
Да — в режиме одиночного заряда используйте селектор Найти. Калькулятор преобразует \( E = kq/r^{2} \) в соответствующую замкнутую форму (\( q = E\varepsilon_{r}r^{2}/k \) или \( r = \sqrt{kq/(\varepsilon_{r}E)} \)) и скрывает неизвестное поле ввода.

Почему мое результирующее поле оказалось равным нулю?
Два равных, но противоположных по знаку заряда, расположенных зеркально относительно вашей контрольной точки, создают равные и противоположные вклады, которые взаимно уничтожаются — поле в средней точке перпендикулярного биссектриса диполя равно нулю на оси, проходящей через диполь. Это реальная физика, а не ошибка калькулятора. Сместите контрольную точку с плоскости симметрии, чтобы увидеть ненулевое поле.