Решатель Линейного Программирования

Решайте задачи линейного программирования онлайн с помощью симплекс-метода. Поддерживает максимизацию или минимизацию целевой функции, смешанные ограничения ≤/≥/=, до 8 переменных решения, а для задач с 2 переменными отображает интерактивный график области допустимых решений с выделением каждой вершины и оптимума.

Быстрые примеры:

Макс. прибыль (2-пер) Мин. стоимость (задача о диете) Ассортимент продукции ЛП с 3 переменными С условием равенства

Задача линейного программирования

Первая строка — целевая функция (Maximize или Minimize …). Каждая последующая строка — линейное ограничение. Используйте <=, >= или =. Сокращение: x, y >= 0 задает неотрицательность для нескольких переменных. До 8 переменных и 20 ограничений.

Embed Решатель Линейного Программирования Widget

О Решатель Линейного Программирования

Решатель линейного программирования — это онлайн-калькулятор, который находит максимум или минимум линейной целевой функции при соблюдении системы линейных неравенств или равенств. Он использует симплекс-метод (вариант Big-M), что позволяет свободно смешивать ограничения типа <=, >= и =, а для задач с 2 переменными он строит интерактивный график области допустимых решений с выделением каждой вершины и оптимума.

Что такое линейное программирование?

Задача линейного программирования (ЛП) ставит вопрос:

Максимизировать (или минимизировать): Z = c₁ x₁ + c₂ x₂ + … + c_n x_n при условии: a₁₁ x₁ + … + a_1n x_n (≤, ≥, или =) b₁ a₂₁ x₁ + … + a_2n x_n (≤, ≥, или =) b₂ … a_m1 x₁ + … + a_mn x_n (≤, ≥, или =) b_m x₁, x₂, …, x_n ≥ 0

Набор точек, удовлетворяющих каждому ограничению, называется областью допустимых решений и представляет собой выпуклый многогранник. Основная теорема линейного программирования гласит, что если ЛП имеет конечный оптимум, то он достигается в вершине (крайней точке) этого многогранника. Вот почему симплекс-метод, который переходит от вершины к вершине, так эффективен.

Как работает симплекс-метод

Начиная с допустимой вершины, симплекс-метод многократно улучшает целевую функцию, переходя к соседней вершине с лучшим значением. Механика процесса:

Стандартная форма: перевод ЛП к виду max c^Tx при условии Ax = b, x ≥ 0. Для ограничений <= добавляются дополнительные (slack) переменные; для >= вычитаются избыточные (surplus) и добавляются искусственные с большим штрафом −M; для равенств добавляются искусственные переменные.
Начальная таблица: базис состоит из дополнительных и искусственных переменных, что дает очевидную начальную вершину.
Входящая переменная: выбирается небазисная переменная с наибольшей положительной оценкой $ c_j - z_j $. Если такой переменной нет, текущее решение оптимально.
Выходящая переменная: для входящего столбца проводится тест минимального отношения — правая часть каждой строки делится на ее положительный элемент во входящем столбце, и выбирается строка с наименьшим отношением. Если положительных элементов нет, ЛП неограничена.
Итерация (Pivot): использование исключения Гаусса, чтобы сделать входящий столбец единичным вектором с единицей в выходящей строке.
Повторение до выполнения критерия остановки.

Если по завершении какая-либо искусственная переменная остается в базисе с положительным значением, исходная ЛП недопустима.

Графический метод (для 2 переменных)

Для задач с двумя переменными область допустимых решений представляет собой 2D выпуклый многоугольник. Поскольку оптимум всегда находится в вершине, перечисления всех вершин и оценки целевой функции в них достаточно для решения задачи. Этот калькулятор выполняет перечисление путем пересечения каждой пары границ ограничений, сохраняя только те пересечения, которые удовлетворяют всем остальным ограничениям, и сортируя их против часовой стрелки для визуализации.

Синтаксис ввода

Напишите целевую функцию в первой строке, затем по одному ограничению в строке. Именами переменных может быть любой идентификатор (x, y, x1, profit…). Операторы: <=, >= и =. Неотрицательность можно записать как x, y >= 0 для сокращения.

Maximize 3x + 5y x + y <= 10 2x + y <= 16 x + 3y <= 18 x, y >= 0

Пустые строки и комментарии, начинающиеся с #, игнорируются. Решатель принимает до 8 переменных решения и 20 ограничений.

Пример решения

Рассмотрим мебельную мастерскую, которая изготавливает столы и стулья. Каждый стол приносит \\$3 прибыли и требует 1 единицу древесины и 2 единицы труда. Каждый стул приносит \\$5 прибыли и требует 1 единицу древесины, 1 единицу труда и 3 единицы лака. Доступно: 10 ед. древесины, 16 ед. труда, 18 ед. лака. При x = столы и y = стулья, задача ЛП выглядит так:

Maximize Z = 3x + 5y x + y <= 10 (древесина) 2x + y <= 16 (труд) x + 3y <= 18 (лак) x, y >= 0

Область допустимых решений — пятиугольник. Оценка Z в каждой вершине:

Вершина (x, y)	Z = 3x + 5y	Допустимо?
(0, 0)	0	Да
(8, 0)	24	Да
(6, 4)	38 ← оптимум	Да
(0, 6)	30	Да

Таким образом, мастерской следует изготовить 6 столов и 4 стулья для получения максимальной прибыли в \\$38. Ограничения по дереву и труду являются связывающими (они равны своей правой части в оптимуме); лак имеет запас 0 (в данном случае также связывающее), что означает, что все три ресурса исчерпаны.

Общие проблемы и что обнаруживает решатель

Ситуация	Симптом	Как исправить
Неограниченная ЛП	Решатель сообщает "Задача неограничена"	Добавьте недостающую верхнюю границу. Целевая функция может расти бесконечно, потому что область допустимых решений бесконечна в направлении улучшения.
Недопустимая ЛП	Решатель сообщает "Задача недопустима"	Ограничения противоречат друг другу (например, `x >= 10` при `x <= 5`). Пересмотрите каждую пару границ.
Альтернативные оптимумы	Значок предупреждения; оптимальная вершина уникальна, но Z достигается вдоль всего ребра	Происходит, когда вектор целевой функции параллелен связывающему ребру. Любая выпуклая комбинация двух вершин на этом ребре также является оптимальной.
Вырождение / зацикливание	Симплекс итерирует без улучшения Z	Редко встречается в учебных задачах; может быть решено правилом Бланда. Этот решатель ограничивает число итераций во избежание бесконечных циклов.

Области применения

Ассортимент продукции и планирование производства — сколько единиц каждого продукта производить для максимальной прибыли при ограниченных ресурсах.
Задачи о диете и смешивании — минимизация стоимости рациона или корма при соблюдении питательных минимумов.
Транспортные задачи и задачи о назначениях — минимизация стоимости доставки при балансе спроса и предложения.
Оптимизация портфеля — максимизация ожидаемой доходности при ограничениях на риск или долю активов (линеаризовано).
Сетевые потоки — задачи о максимальном потоке и потоке минимальной стоимости сводятся к ЛП с полностью унимодулярными матрицами коэффициентов.
Составление расписаний — планирование графиков персонала с учетом требований к сменам и лимитов общего времени.

Как пользоваться калькулятором

Введите вашу задачу ЛП в текстовое поле. Первая строка должна начинаться с Maximize или Minimize. Каждая последующая строка содержит одно ограничение.
Используйте сокращение x, y >= 0, чтобы объявить неотрицательность для всех перечисленных переменных сразу.
Нажмите Решить задачу ЛП. Решатель выдаст оптимальное значение Z, оптимальные значения каждой переменной решения, список связывающих ограничений, а для задач с 2 переменными — интерактивный график области допустимых решений.
Наведите на вершину на графике, чтобы увидеть ее координаты и значение Z. Оптимум отмечен звездочкой.
Изучите симплекс-таблицы, чтобы увидеть каждую итерацию и проследить, как метод улучшает Z. Входящий столбец выделен янтарным цветом, выходящая строка — красным.

Часто задаваемые вопросы

Что такое задача линейного программирования?

Задача линейного программирования (ЛП) заключается в поиске максимума или минимума линейной целевой функции при наборе переменных решения, которые удовлетворяют системе линейных неравенств или равенств. Допустимое множество представляет собой выпуклый многогранник, и оптимум всегда достигается в одной из его вершин — этот ключевой факт и использует симплекс-метод.

Как работает симплекс-метод?

Симплекс-метод перемещается по вершинам допустимого многогранника. Каждый шаг (итерация) заменяет одну переменную в базисе на другую, переходя к соседней вершине со строго лучшим значением целевой функции. Алгоритм останавливается, когда итерация больше не может улучшить Z — текущая вершина тогда считается оптимальной. Инструмент использует вариант Big-M для работы со смешанными типами ограничений.

Что такое область допустимых решений?

Область допустимых решений — это набор всех значений переменных, удовлетворяющих всем ограничениям одновременно. Для 2 переменных это 2D выпуклый многоугольник; для n переменных — n-мерный многогранник. Пустой многогранник означает, что задача недопустима; многогранник, бесконечно уходящий в сторону улучшения, означает, что задача неограничена.

Что означает "неограниченная" в линейном программировании?

Задача ЛП является неограниченной, когда область допустимых решений тянется в бесконечность в том направлении, где целевая функция продолжает улучшаться. Например, Maximize x при условии x ≥ 0 не имеет предела. В реальности такие результаты обычно указывают на отсутствие важного ограничения, например, лимита ресурсов.

Что означает "альтернативный оптимум"?

Альтернативные оптимумы возникают, когда несколько точек дают одно и то же лучшее значение целевой функции. Геометрически это значит, что вектор цели параллелен активной стороне многоугольника, поэтому любая точка на этой стороне оптимальна. Решатель сообщает об этом, если небазисная переменная имеет нулевую оценку в конце расчета.

Сколько переменных и ограничений принимает решатель?

До 8 переменных решения и 20 ограничений. Интерактивный график строится только для задач с 2 переменными; для 3 и более переменных вы по-прежнему получаете полное числовое решение, пошаговые таблицы и отчет об активности ограничений.

Дополнительная литература

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Решатель Линейного Программирования" на сайте https://ru.miniWebtool.com/решатель-линейного-программирования/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 21 апр. 2026 г.

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.