Калькулятор конечной скорости

Калькулятор конечной скорости находит максимальную установившуюся скорость, которую достигает падающий объект, когда сопротивление воздуха уравновешивает силу тяжести — по массе, коэффициенту лобового сопротивления и площади поперечного сечения. Выберите парашютиста, каплю дождя, кошку, шар для боулинга или перо, либо введите свой объект, укажите среду (воздух, вода или мёд) — инструмент рассчитает конечную скорость по формуле \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\) и покажет, сколько времени и пути нужно, чтобы её достичь.

Что такое конечная скорость?

Конечная скорость — это постоянная скорость, которую в итоге достигает падающий объект, когда направленная вверх сила сопротивления окружающей среды становится достаточно большой, чтобы точно компенсировать направленную вниз силу тяжести. При нулевой результирующей силе ускорение прекращается (первый закон Ньютона), и объект продолжает падать с этой установившейся максимальной скоростью. Всё, что падает в воздухе — парашютист, градина, лист — стремится к своей конечной скорости, заданной соотношением массы и сопротивления формы и размера.

В вакууме нет среды и, следовательно, нет сопротивления, поэтому нет и конечной скорости: перо и молоток падают вместе — именно так астронавт Дэвид Скотт показал на Луне во время миссии «Аполлон-15».

Формула конечной скорости

Конечная скорость получается, если приравнять силу сопротивления весу. Квадратичная сила сопротивления: \(F_d = \tfrac{1}{2}\rho v^2 A C_d\); при \(F_d = mg\) и решении относительно \(v\) получаем:

где:

• \(v_t\) — конечная скорость (метры в секунду)
• \(m\) — масса объекта (килограммы)
• \(g\) — ускорение свободного падения, \(9.80665\ \text{м/с}^2\) на Земле
• \(\rho\) — плотность среды (около \(1.225\ \text{кг/м}^3\) для воздуха на уровне моря)
• \(A\) — площадь поперечного сечения, обращённая к потоку (квадратные метры)
• \(C_d\) — коэффициент лобового сопротивления, безразмерное число, зависящее от формы (≈0,5 для сферы, ≈1,0–1,3 для плоской пластины или распластанного парашютиста)

Сколько времени нужно, чтобы достичь конечной скорости?

Объект, сброшенный из состояния покоя, не достигает конечной скорости мгновенно — он плавно приближается к ней по кривой гиперболического тангенса и, строго говоря, никогда не доходит до 100%:

Характерное время \(\tau = v_t/g\) показывает, насколько быстро происходит приближение. На практике физики считают, что объект «достиг конечной скорости», когда он в пределах одного-двух процентов от неё. Этот калькулятор показывает точное время и путь падения до 95% и 99% конечной скорости вашего объекта по формулам \(t_f = \tau\,\operatorname{arctanh}(f)\) и \(x_f = \tfrac{v_t^2}{2g}\ln\!\big(1/(1-f^2)\big)\). Например, парашютисту, падающему животом к земле, нужно примерно 10 секунд и около 330 метров падения, чтобы достичь 95%.

Конечные скорости обычных объектов (в воздухе)

Что влияет на конечную скорость?

Как пользоваться этим калькулятором

1. Выберите объект: выберите готовый вариант — парашютиста, каплю дождя или шар для боулинга — либо «Свой объект», чтобы ввести свои значения.
2. Введите массу, сопротивление и площадь: для своего объекта укажите массу, коэффициент лобового сопротивления и площадь поперечного сечения и выберите единицы (кг/г/lb и м²/см²/фт²).
3. Выберите среду: воздух на уровне моря, разреженный высотный воздух, вода или мёд — это задаёт плотность среды.
4. Нажмите «Рассчитать»: инструмент применит \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\) и сразу покажет результат.
5. Изучите результат: посмотрите конечную скорость в м/с, км/ч, mph и числе Маха, анимацию падения и кривую приближения tanh, время и путь до конечной скорости и пошаговый расчёт.

Часто задаваемые вопросы

Что такое конечная скорость?

Конечная скорость — это постоянная максимальная скорость, которую достигает падающий объект, когда направленная вверх сила сопротивления воздуха (или другой среды) точно уравновешивает направленную вниз силу тяжести. В этой точке результирующая сила равна нулю, и объект перестаёт ускоряться. Для парашютиста, падающего животом к земле, это примерно 190 км/ч.

Как рассчитать конечную скорость?

Конечная скорость равна квадратному корню из (2 × масса × ускорение свободного падения, делённых на произведение плотности среды, площади поперечного сечения и коэффициента лобового сопротивления): \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\). Ускорение свободного падения \(9.81\ \text{м/с}^2\), плотность воздуха на уровне моря — около \(1.225\ \text{кг/м}^3\). Более тяжёлые или компактные объекты падают быстрее; более крупные или «тормозные» — медленнее.

Достигает ли более тяжёлый объект большей конечной скорости?

Да. Конечная скорость растёт пропорционально квадратному корню из массы, поэтому при одинаковой форме более тяжёлый объект падает быстрее. Это отличается от вакуума, где все тела ускоряются одинаково. При сопротивлении воздуха шар для боулинга достигает гораздо большей конечной скорости, чем пляжный мяч того же размера.

Сколько времени нужно, чтобы достичь конечной скорости?

Объект, сброшенный из состояния покоя, приближается к конечной скорости по кривой tanh и никогда не достигает ровно 100%. Обычно около 95% набирается за несколько секунд. Человек-парашютист достигает примерно 95% примерно через 10 секунд и после 330 метров падения. Этот калькулятор показывает точное время и расстояние до 95% и 99% для вашего объекта.

Какова конечная скорость человека?

Парашютист, падающий животом к земле, имеет конечную скорость около 53 м/с — примерно 190 км/ч или 120 mph. В пикировании головой вниз, при гораздо меньшей фронтальной площади, скорость может вырасти примерно до 90 м/с и выше. Вингсьют обменивает вертикальную скорость на более медленный планирующий спуск.

Почему перо и молоток падают на Луне с одинаковой скоростью?

Конечная скорость существует только при наличии среды, создающей сопротивление. На безвоздушной Луне нет сопротивления воздуха и нет конечной скорости, поэтому все объекты ускоряются одинаково — как показала демонстрация с пером и молотком во время миссии «Аполлон-15». На Земле большая площадь и малая масса пера дают ему очень низкую конечную скорость, поэтому оно медленно кружится.

Дополнительные ресурсы

• Конечная скорость — Wikipedia
• Коэффициент лобового сопротивления — Wikipedia