Калькулятор третьего закона Кеплера

Калькулятор Третьего закона Кеплера позволяет найти орбитальный период любого вращающегося тела — будь то планета, луна, искусственный спутник или звезда, обращающаяся вокруг черной дыры — всего по двум параметрам: большой полуоси орбиты и массе центрального тела. Он использует обобщенную Ньютоном форму Третьего закона Кеплера и демонстрирует пошаговый процесс вычислений, анимированную диаграмму орбиты и сравнение с реальными орбитами небесных тел в Солнечной системе.

Что такое Третий закон Кеплера?

Изолированная ньютоновская задача двух тел: T = 2π√[a³/G(M+m)]. a — большая полуось относительной орбиты, не орбиты одного тела вокруг барицентра. Пустое m означает m=0, приближение при m≪M. Рисунок показывает относительное движение. v=2πa/T — относительная круговая скорость, не средняя по эллипсу. Возмущения и относительность не учитываются.

Формула Третьего закона Кеплера

Ньютоновская форма закона, используемая в данном калькуляторе, выглядит следующим образом:

где T — орбитальный период, a — большая полуось (средний радиус орбиты), M — масса центрального тела, а G — гравитационная постоянная, равная \( 6.674 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2} \). Обратите внимание, что масса самого вращающегося тела и эксцентриситет его орбиты в формуле отсутствуют.

Упрощенная версия для Солнечной системы

Когда центральным телом является Солнце, все постоянные величины сводятся к удивительно простому соотношению, если измерять период в годах, а расстояние — в астрономических единицах (а.е.):

Таким образом, для Земли (a = 1 а.е.) период T = 1 год, для Марса (a = 1.52 а.е.) T ≈ 1.88 года, а для Юпитера (a = 5.20 а.е.) T ≈ 11.86 года. Калькулятор автоматически выводит этот упрощенный расчет каждый раз, когда вы указываете массу центрального тела, равную одной массе Солнца.

Орбитальные периоды планет

Почему период не зависит от эксцентриситета

Одно из самых поразительных следствий Третьего закона Кеплера заключается в том, что две орбиты с одинаковой большой полуосью имеют одинаковый период, независимо от того, насколько сильно различается их форма. Почти круговая орбита и длинный вытянутый сигарообразный эллипс потребуют абсолютно одинакового времени для совершения одного полного оборота, если совпадают их большие полуоси. Эксцентриситет влияет лишь на то, в каких именно участках тело ускоряется или замедляется (Второй закон Кеплера), но не меняет общее время обращения.

Что влияет на орбитальный период?

Как пользоваться этим калькулятором

1. Введите большую полуось: Укажите значение большой полуоси орбиты и выберите единицу измерения — а.е., миллионов км, км, метры или радиусы Солнца.
2. Введите центральную массу: Укажите массу тела, вокруг которого совершается обращение, и выберите единицу измерения — массы Солнца, массы Земли, массы Юпитера или килограммы.
3. Нажмите Рассчитать: Инструмент мгновенно применит формулу \( T = 2\pi\sqrt{a^3 / G(M+m)} \) и выдаст результат.
4. Просмотрите результаты: Ознакомьтесь с периодом во всех возможных единицах измерения, средней скоростью движения по орбите, анимированной визуализацией и сравнением вашей орбиты с реальными космическими объектами — от МКС до Нептуна.

Пример расчета: Земля вокруг Солнца

Для большой полуоси в 1 а.е. (\( 1.496 \times 10^{11} \) м) и массы центрального тела в одну массу Солнца (\( 1.989 \times 10^{30} \) кг) формула дает значение \( T = 2\pi\sqrt{a^3/G(M+m)} \approx 3.156 \times 10^{7} \) секунд, что составляет ровно 365.25 дня — то есть один год, как и должно быть.

Часто задаваемые вопросы

Что такое Третий закон Кеплера?

Изолированная ньютоновская задача двух тел: T = 2π√[a³/G(M+m)]. a — большая полуось относительной орбиты, не орбиты одного тела вокруг барицентра. Пустое m означает m=0, приближение при m≪M. Рисунок показывает относительное движение. v=2πa/T — относительная круговая скорость, не средняя по эллипсу. Возмущения и относительность не учитываются.

Какие входные данные нужны калькулятору?

Всего два значения: большая полуось орбиты и масса центрального тела, вокруг которого происходит вращение. Период не зависит от массы вращающегося объекта или от эксцентриситета орбиты, поэтому они не требуются.

Почему период не зависит от эксцентриситета?

В Третьем законе Кеплера используется большая полуось, которая является средним значением между ближайшим и самым дальним расстоянием орбиты. Две орбиты с одинаковой большой полуосью имеют абсолютно одинаковый период, даже если одна из них близка к кругу, а другая представляет собой длинный вытянутый эллипс. Эксцентриситет меняет форму и скорость в разных точках, но не общее время одного полного оборота.

Какие единицы измерения можно использовать?

Для большой полуоси можно использовать астрономические единицы (а.е.), миллионы км, км, метры или радиусы Солнца. Для центральной массы можно выбрать массы Солнца, массы Земли, массы Юпитера или килограммы. Калькулятор внутри себя переводит все значения в единицы СИ и выдает период в секундах, минутах, часах, днях и годах.

Что такое упрощенная версия для Солнечной системы?

M+m ≈ 1 M☉: T(yr) ≈ a(AU)^(3/2). Изолированная ньютоновская задача двух тел: T = 2π√[a³/G(M+m)]. a — большая полуось относительной орбиты, не орбиты одного тела вокруг барицентра. Пустое m означает m=0, приближение при m≪M. Рисунок показывает относительное движение. v=2πa/T — относительная круговая скорость, не средняя по эллипсу. Возмущения и относительность не учитываются.

Можно ли использовать его для искусственных спутников и лун?

Да. Установите в качестве центральной массы Землю (или другую планету) и введите радиус орбиты как большую полуось. Для низкой околоземной орбиты на высоте около 6 791 км калькулятор покажет период около 93 минут, что соответствует реальному орбитальному периоду Международной космической станции.

Дополнительные ресурсы

• Законы Кеплера — Википедия
• Орбитальный период — Википедия