Калькулятор комплексных чисел

Складывайте, вычитайте, умножайте и делите комплексные числа, преобразуйте формы, вычисляйте модуль, аргумент, сопряжённое число, степени и корни с калькулятором комплексных чисел MiniWebtool. Доступны подробные пошаговые решения и интерактивная визуализация комплексной плоскости.

Нужна помощь с инструментом? Спросите ИИ

Gemini (скопировать и открыть)

В Gemini вставьте скопированный вопрос в чат. Его также можно скопировать ниже.

Посмотреть вопрос

Хочу понять, как пользоваться инструментом «Калькулятор комплексных чисел» от MiniWebtool: https://ru.miniwebtool.com/%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB/. Для чего он нужен, какие данные или настройки требуются и как использовать инструмент и понимать результат? Покажите один простой пример шаг за шагом. Используйте эту страницу как источник и ответьте по-русски.

БесплатноБез регистрацииМгновенный результат

Калькулятор комплексных чиселПопробуйте — бесплатно ▼

Умножение поворачивает и растягивает: (1 + i)(1 + i) = 2i

Введите ниже два комплексных числа, чтобы сложить, умножить, разделить или перевести их, с шагами и графиком на комплексной плоскости.

Быстрые примеры — нажмите, чтобы попробовать

+ Сложение (3+4i)+(1-2i)

- Вычитание (5+3i)-(2+i)

× Умножение (2+3i)×(4-i)

÷ Деление (6+8i)÷(3-4i)

|z| Модуль |3+4i|

∠ Аргумент arg(1+i)

z̄ Сопряжение conj(4-3i)

→∠ В полярную 3+4i → r∠θ

→z В прямоуг. 5∠53° → a+bi

zⁿ Степень (1+i)⁴

ⁿ√ Корни ³√8

z₁ Первое комплексное число

Принимает прямоугольную (a+bi) или полярную (r∠θ°) форму

⚙ Операция

z₂ Второе комплексное число

n Показатель / Степень корня

Положительное целое число для операций степени или корня

Embed Калькулятор комплексных чисел Widget

О Калькулятор комплексных чисел

Добро пожаловать в Калькулятор комплексных чисел — мощный математический инструмент для выполнения операций над комплексными числами с пошаговыми решениями и интерактивной визуализацией. Независимо от того, являетесь ли вы студентом, изучающим мнимые числа, инженером, анализирующим цепи переменного тока, или математиком, исследующим комплексную плоскость, этот калькулятор предоставляет исчерпывающие решения для всех ваших вычислений.

Коротко

Калькулятор комплексных чисел выполняет арифметику, перевод форм записи, модуль, аргумент, сопряжение, степени и корни n-й степени для комплексных чисел. Показывает решения по шагам и наносит числа на комплексную плоскость.

Калькулятор комплексных чисел: основные возможности
Функция	Что даёт	Подходит для
Арифметика	Сложение, вычитание, умножение и деление двух комплексных чисел с выписанными формулами.	Упражнения по алгебре и математике перед анализом
Форматы ввода	Введите запись в прямоугольной форме, например 3+4i, или в полярной, например 5∠45° или 3∠π/4. Формат определяется автоматически.	Ввод числа так, как его даёт задача
Перевод форм	Переводит между прямоугольной (a + bi) и полярной (r∠θ) формами. Результаты показываются в обеих формах.	Переход между формами для умножения или степеней
Модуль, аргумент, сопряжение	\|z\| = √(a² + b²), arg(z) из arctan(b/a) и сопряжённое a − bi.	Нахождение расстояния и угла числа от начала координат
Степени и корни	Возведение в степень по формуле Муавра и нахождение всех n корней n-й степени для k от 0 до n−1.	Решение задач на z^n и корни из единицы
Комплексная плоскость	Числа наносятся на интерактивную комплексную плоскость.	Наглядное положение числа относительно осей
Решения по шагам	Каждый результат сопровождается пошаговым решением в математической записи.	Проверка собственного решения

Что такое комплексное число?

Комплексное число — это число, которое можно представить в виде $ a + bi $, где $ a $ и $ b $ — вещественные числа, а $ i $ — мнимая единица, удовлетворяющая условию $ i^2 = -1 $. Число $ a $ называется вещественной частью, а $ b $ — мнимой частью комплексного числа.

Прямоугольная форма

Записывается как $ z = a + bi $, представляя точку с координатами (a, b) на комплексной плоскости.

Полярная форма

Записывается как $ z = r \angle \theta $ или $ z = re^{i\theta} $, где r — модуль, а theta — аргумент.

Мнимая единица

Символ $ i $ обозначает $ \sqrt{-1} $, позволяя решать уравнения вида $ x^2 + 1 = 0 $.

Поддерживаемые операции

Арифметические операции

Сложение

$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

Вычитание

$$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$

Умножение

$$(a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

Деление

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$$

Свойства комплексных чисел

Модуль: $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $ — расстояние от начала координат
Аргумент: $ \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ — угол с положительной вещественной осью
Сопряжение: $ \overline{z} = a - bi $ — зеркальное отражение относительно вещественной оси

Преобразование форм

Из прямоугольной в полярную

$$z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

Из полярной в прямоугольную

$$z = r \angle \theta \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta$$

Степени и корни

Формула Муавра (Степени)

$$(r \angle \theta)^n = r^n \angle (n\theta)$$

Корни n-й степени

$$\sqrt[n]{r \angle \theta} = \sqrt[n]{r} \angle \left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, ..., n-1$$

Как пользоваться этим калькулятором

Введите комплексное число: Используйте прямоугольную форму (например, 3+4i, -2-5i) или полярную форму (например, 5∠45°, 3∠π/4). Калькулятор автоматически определит формат.
Выберите операцию: Выберите из арифметических операций, преобразований или функций, таких как модуль, аргумент, степень и корень.
Введите дополнительные данные: Для бинарных операций введите второе комплексное число. Для степени/корня введите показатель.
Нажмите «Рассчитать»: Просмотрите результаты в прямоугольной и полярной формах с подробными пошаговыми решениями и визуализацией на комплексной плоскости.

Применение комплексных чисел

Электротехника

Анализ цепей переменного тока использует комплексный импеданс для представления сопротивления, емкости и индуктивности.

Обработка сигналов

Преобразования Фурье используют комплексные экспоненты для анализа и фильтрации сигналов.

Квантовая механика

Волновые функции являются комплекснозначными, а вероятность определяется квадратом модуля.

Системы управления

Полюса и нули на комплексной плоскости определяют устойчивость и отклик системы.

Часто задаваемые вопросы

Что такое комплексное число?

Комплексное число — это число, которое можно представить в виде a + bi, где a и b — вещественные числа, а i — мнимая единица, удовлетворяющая условию i² = -1. Вещественная часть — 'a', а мнимая часть — 'b'. Комплексные числа расширяют систему вещественных чисел и необходимы во многих областях математики, физики и инженерии.

Как переводить числа из прямоугольной формы в полярную и наоборот?

Для перевода из прямоугольной формы (a+bi) в полярную (r угол theta): вычислите r = sqrt(a² + b²) для модуля и theta = arctan(b/a) для аргумента. Для перевода из полярной формы в прямоугольную: вычислите a = r * cos(theta) для вещественной части и b = r * sin(theta) для мнимой части.

Что такое формула Муавра?

Формула Муавра утверждает, что для комплексного числа в полярной форме z = r(cos theta + i sin theta) и любого целого n справедливо: z^n = r^n(cos(n * theta) + i sin(n * theta)). Эта формула значительно упрощает вычисление степеней и корней комплексных чисел, позволяя работать с полярной формой вместо многократного умножения.

Как найти корни n-й степени комплексного числа?

Чтобы найти n корней n-й степени из z = r угол theta, используйте формулу: root_k = r^(1/n) угол ((theta + 2 pi k)/n) для k = 0, 1, 2, ..., n-1. Это дает n различных корней, равномерно расположенных на окружности радиуса r^(1/n) на комплексной плоскости.

Где применяются комплексные числа?

Комплексные числа используются в электротехнике для анализа цепей переменного тока, в обработке сигналов для преобразований Фурье, в квантовой механике для волновых функций, в системах управления для анализа устойчивости, в гидродинамике и при решении полиномиальных уравнений. Они обеспечивают элегантные решения задач, которые были бы трудны при использовании только вещественных чисел.

Дополнительные ресурсы

Комплексное число — Википедия

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор комплексных чисел" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-комплексных-чисел/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 20 января 2026 г.

Обсудите инструмент с любимым ИИ

Gemini (скопировать и открыть)

В Gemini вставьте скопированный вопрос в чат. Его также можно скопировать ниже.

Посмотреть вопрос

Хочу понять, как пользоваться инструментом «Калькулятор комплексных чисел» от MiniWebtool: https://ru.miniwebtool.com/%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB/. Для чего он нужен, какие данные или настройки требуются и как использовать инструмент и понимать результат? Покажите один простой пример шаг за шагом. Используйте эту страницу как источник и ответьте по-русски.

Калькулятор комплексных чисел

Быстрые примеры — нажмите, чтобы попробовать

О Калькулятор комплексных чисел

Коротко

Что такое комплексное число?

Прямоугольная форма

Полярная форма

Мнимая единица

Поддерживаемые операции

Арифметические операции

Свойства комплексных чисел

Преобразование форм

Степени и корни

Как пользоваться этим калькулятором

Применение комплексных чисел

Электротехника

Обработка сигналов

Квантовая механика

Системы управления

Часто задаваемые вопросы

Что такое комплексное число?

Как переводить числа из прямоугольной формы в полярную и наоборот?

Что такое формула Муавра?

Как найти корни n-й степени комплексного числа?

Где применяются комплексные числа?

Дополнительные ресурсы

Обсудите инструмент с любимым ИИ

Продвинутые математические операции:

Решение по математике

Числа и делители

Дроби и деление

Степени, корни и логарифмы

Алгебра и уравнения

Математический анализ

Геометрия и тригонометрия

Популярные и обновлённые инструменты:

Скачайте всё одним ZIP-архивом с Pro