Калькулятор периода маятника

Калькулятор периода маятника использует классическую формулу простого маятника \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) для нахождения периода \(T\), длины \(L\), местной гравитации \(g\) или собственной частоты \(f\). Он включает предустановки гравитации планет в один клик, точную поправку на большой угол через ряд эллиптических интегралов, живую SVG-анимацию маятника, качающегося с расчетной скоростью, и данные об энергии/скорости при указании массы груза.

Как пользоваться этим калькулятором периода маятника

1. Выберите искомую величину: T (период), L (длина), g (гравитация) или f (частота). Форма перестроится и запросит только необходимые данные.
2. Выберите предустановку планеты — Земля, Луна, Марс, Юпитер, Солнце, МКС и др. — или переключитесь в режим Свой и введите собственное значение g.
3. Введите длину, период или любую комбинацию, которую требует выбранный режим.
4. Опционально: введите амплитуду колебаний (в градусах) и массу груза. Калькулятор сообщит точный период (не для малых углов), максимальную высоту, скорость в нижней точке и пиковую кинетическую / потенциальную энергию.
5. Нажмите Рассчитать и изучите живую SVG-анимацию, таблицу сравнения планет, пошаговое решение и количество циклов в минуту / час / день.

Что делает этот калькулятор особенным

Формула периода маятника

Для точечного груза на невесомом стержне, качающегося на малый угол в однородном гравитационном поле:

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

Здесь \(T\) — период в секундах, \(L\) — длина от оси до центра масс груза (метры), а \(g\) — местное ускорение свободного падения (м/с²). Собственная частота — величина, обратная периоду: \( f = 1/T \), а угловая частота \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \).

Почему масса не имеет значения

Если записать второй закон Ньютона для груза маятника (масса \(m\)) на стержне длиной \(L\) под углом \(\theta\), возвращающий гравитационный момент будет равен \(-m g L \sin\theta\), а момент инерции — \(m L^{2}\). Уравнение движения:

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

Масса сокращается. Два маятника одинаковой длины колеблются с одинаковым периодом независимо от веса их грузов. Однако масса груза линейно влияет на кинетическую и потенциальную энергию (и на натяжение стержня).

Малый угол vs Точный период

Привычная формула \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) — это лишь первый член ряда. Точный период равен:

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

где \(\theta_0\) — амплитуда (половина размаха) в радианах. Приближение малого угла занижает период на:

Секундный маятник

При \(T = 2\) с (каждое движение в одну сторону длится одну секунду) и \(g = 9.80665\) м/s² мы получаем знаменитую длину "секундного маятника":

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9.80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0.9936 \text{ м}. \]

Эта длина лежит в основе конструкции всех напольных часов и когда-то предлагалась в качестве эталона метра. Поскольку период маятника зависит от местного \(g\), секундный маятник, откалиброванный в Лондоне, будет тикать иначе на экваторе — исторически именно так геодезисты определяли форму Земли.

Пример расчета: маятник 1 м на Земле

• Длина \(L = 1.00\) м, гравитация \(g = 9.80665\) м/с².
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} = 2.0064\) с (для малых углов).
• Частота \( f = 1/T \approx 0.4984 \) Гц; угловая частота \( \omega \approx 3.132 \) рад/с.
• При амплитуде 20° точный период составит около 2.022 с — на 0.77% длиннее.
• Если масса груза 0.5 кг и θ₀ = 20°, макс. высота \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0.060\) м, пиковая KE = пиковая PE \(\approx 0.295\) Дж, а пиковая скорость \( v = \sqrt{2gh} \approx 1.087\) м/с.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула периода простого маятника?
Для малых колебаний \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \). Период зависит только от длины и местной гравитации, а не от массы груза или амплитуды (пока она мала).

Влияет ли масса груза на период?
Нет. Масса сокращается в уравнении движения. Груз весом 1 кг и груз весом 100 г на одинаковой нити будут качаться с одинаковой скоростью. Масса, однако, влияет на кинетическую энергию, потенциальную энергию и натяжение нити.

Как планета влияет на период маятника?
Период меняется как \(1/\sqrt{g}\). Маятник длиной 1 м, качающийся каждые 2.01 с на Земле, на Луне будет совершать колебание за 4.93 с (\(g \approx 1.62\)), а на Юпитере — за 1.26 с (\(g \approx 24.79\)). Межпланетная таблица в результатах наглядно это показывает.

Почему период увеличивается при больших амплитудах?
Формула малого угла основана на замене \(\sin\theta\) на \(\theta\). При больших углах возвращающая "сила" слабее, чем предполагает линейное приближение, поэтому груз проводит больше времени в крайних точках, и период растет. Точный результат требует использования полного эллиптического интеграла первого рода.

Какой длины должен быть маятник, чтобы совершать одно колебание в секунду?
Если под "одним колебанием в секунду" вы подразумеваете \(T = 1\) с, то нужна длина \(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0.0248\) м, т.е. около 25 мм — очень короткий! Исторический "секундный маятник" длиной 1 м имеет период 2 с, так как каждая секунда соответствовала движению только в одну сторону.

Как маятник может измерять гравитацию?
Переключите режим на Найти g. Введите точно измеренную длину и период — калькулятор вернет \( g = 4\pi^2 L / T^2 \). Это принцип работы классического маятникового гравиметра.

В чем разница между простым и физическим маятником?
Простой маятник — это идеализированная точечная масса на невесомой нити. Физический маятник — это любое реальное твердое тело, качающееся вокруг оси. Его период равен \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \), где \(I\) — момент инерции относительно оси, а \(d\) — расстояние от оси до центра масс.