Калькулятор угла между векторами
Рассчитайте угол между двумя 2D или 3D векторами, используя формулу скалярного произведения cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Получите пошаговое решение, результаты в градусах и радианах, интерактивную векторную диаграмму и геометрическую интерпретацию.
Ваш блокировщик рекламы мешает показывать объявления
MiniWebtool бесплатен благодаря рекламе. Если этот инструмент помог, поддержите нас через Premium (без рекламы + быстрее) или добавьте MiniWebtool.com в исключения и обновите страницу.
- Или перейдите на Premium (без рекламы)
- Разрешите показ рекламы на MiniWebtool.com, затем перезагрузите страницу.
О Калькулятор угла между векторами
Калькулятор угла между векторами находит угол между двумя 2D или 3D векторами с использованием формулы скалярного произведения \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\). Введите компоненты ваших векторов, чтобы мгновенно получить угол в градусах и радианах, полное пошаговое решение, модули векторов, скалярное произведение, единичные векторы, проекцию, геометрическую интерпретацию и интерактивную диаграмму с настраиваемыми слоями.
Формула угла через скалярное произведение
Угол \(\theta\) между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выводится из тождества скалярного произведения:
$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$
Где:
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n\) — это скалярное произведение
- \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}\) — это модуль (длина) вектора a
- \(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)\) дает угол в диапазоне от 0° до 180°
Понимание знака скалярного произведения
Применение в реальном мире
Основные формулы
| Формула | Выражение | Описание |
|---|---|---|
| Скалярное произведение (2D) | \(a_1 b_1 + a_2 b_2\) | Сумма покомпонентных произведений |
| Скалярное произведение (3D) | \(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\) | Расширяется до трех компонентов |
| Модуль | \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) | Длина (норма) вектора |
| Угол | \(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)\) | Всегда в диапазоне от 0° до 180° |
| Косинусное сходство | \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) | То же, что и cos θ — от −1 до 1 |
| Проекция | \(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\) | Компонент вектора a вдоль b |
Как использовать калькулятор угла между векторами
- Введите вектор a: Введите компоненты через запятую. Используйте 2 компонента для 2D (например, 3, 4) или 3 компонента для 3D (например, 1, 2, 3). Нажмите любой быстрый пример для автозаполнения обоих полей.
- Введите вектор b: Введите компоненты второго вектора в той же размерности, что и вектор a.
- Следите за предпросмотром: Диаграмма обновляется в реальном времени, показывая оба вектора и вычисленный угол по мере ввода данных.
- Нажмите Рассчитать: Нажмите кнопку, чтобы получить полный результат, включая угол в градусах и радианах, пошаговое решение и интерактивную диаграмму.
- Изучите диаграмму: Переключайте слои (дуга угла, проекция, сетка, метки) для различных визуализаций. Для 3D векторов используйте перетаскивание для вращения.
2D против 3D векторов
Формула угла через скалярное произведение работает идентично как в 2D, так и в 3D — меняется только количество компонентов. В 2D векторы имеют компоненты (x, y), и диаграмма показывает плоскую декартову плоскость с четкой дугой угла. В 3D векторы имеют компоненты (x, y, z), и диаграмма предоставляет интерактивный вращаемый изометрический вид. Математический принцип остается прежним: вычислить скалярное произведение, разделить на произведение модулей и взять арккосинус.
Часто задаваемые вопросы
Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:
"Калькулятор угла между векторами" на сайте https://ru.miniWebtool.com// от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
командой miniwebtool. Обновлено: 2026-04-10
Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.