Калькулятор векторного произведения

Рассчитайте векторное произведение двух 3D-векторов с помощью формулы определителя. Получите пошаговое разложение, результирующий перпендикулярный вектор, его модуль (площадь параллелограмма), проверку направления и интерактивную 3D-визуализацию.

Embed Калькулятор векторного произведения Widget

О Калькулятор векторного произведения

Калькулятор векторного произведения вычисляет произведение двух 3D-векторов по формуле определителя. Введите компоненты двух векторов, чтобы мгновенно получить результирующий перпендикулярный вектор, его модуль (площадь параллелограмма), угол между исходными векторами, пошаговое разложение определителя, проверку перпендикулярности и интерактивную 3D-диаграмму, которую можно вращать.

Формула векторного произведения

Векторное произведение двух 3D-векторов $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ и $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ определяется как определитель:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Разложение по алгебраическим дополнениям вдоль первой строки дает:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Применение в реальном мире

🔧

Крутящий момент

τ = r × F вычисляет вращающую силу

🌊

Угловой момент

L = r × p в механике вращения

🎮

Нормали поверхностей

3D-рендеринг использует нормали для освещения

✈

Электромагнетизм

F = qv × B для силы Лоренца

📐

Расчет площадей

|a×b| дает площадь параллелограмма/треугольника

🏗

Строительная инженерия

Момент сил относительно точки

Основные формулы

Свойство	Формула	Описание
Векторное произведение	$\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle$	Компонентная форма произведения
Модуль (длина)	$\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta$	Равен площади параллелограмма
Антикоммутативность	$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$	Смена порядка меняет направление на противоположное
Перпендикулярность	$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$	Результат всегда перпендикулярен обоим векторам
Тест на параллельность	$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}$	Нулевое произведение означает параллельность векторов
Площадь треугольника	$A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|$	Половина площади параллелограмма

Векторное произведение vs Скалярное произведение

Векторное произведение (a × b)

Дает вектор, перпендикулярный обоим входным. Определено только в 3D. Модуль равен площади параллелограмма. Равно нулю, когда векторы параллельны. Максимально, когда перпендикулярны. Антикоммутативно: a × b = -(b × a).

Скалярное произведение (a · b)

Дает скалярное значение (число). Работает в любом измерении. Измеряет сонаправленность векторов. Равно нулю, когда векторы перпендикулярны. Максимально, когда параллельны. Коммутативно: a · b = b · a.

Ключевые свойства

Антикоммутативность

$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ — порядок важен

Дистрибутивность

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

Скалярный множитель

$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$

Умножение на себя

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ — всегда ноль

Неассоциативность

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$

Тождество Лагранжа

$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

Понимание правила правой руки

Направление векторного произведения определяется по правилу правой руки: расположите пальцы правой руки вдоль первого вектора $\vec{a}$, согните их по направлению ко второму вектору $\vec{b}$, тогда отставленный большой палец укажет направление $\vec{a} \times \vec{b}$. Вот почему векторное произведение антикоммутативно — изменение порядка векторов меняет направление большого пальца на противоположное, что дает $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$.

Модуль $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ представляет собой площадь параллелограмма, построенного на этих двух векторах. Когда векторы параллельны ($\theta = 0°$ или $180°$), площадь схлопывается в ноль. Когда они перпендикулярны ($\theta = 90°$), площадь достигает максимума и равна $|\vec{a}| \times |\vec{b}|$.

Как пользоваться калькулятором векторного произведения

Введите вектор a: Введите три компонента (x, y, z) через запятую — например, 2, 3, 4. Вы также можете выбрать готовый пример для автоматического заполнения.
Введите вектор b: Введите три компонента второго вектора в том же формате.
Следите за предпросмотром: 3D-предпросмотр обновляется в реальном времени, показывая оба вектора, вектор произведения и параллелограмм.
Нажмите Рассчитать: Нажмите кнопку, чтобы получить полные результаты, включая результирующий вектор, площадь параллелограмма, угол, пошаговое решение и интерактивную диаграмму.
Изучите диаграмму: Вращайте 3D-вид мышкой, переключайте слои (параллелограмм, вектор произведения, оси, подписи) для наглядности.

FAQ

Что такое векторное произведение двух векторов?

Векторное произведение (также называемое внешним произведением) двух 3D-векторов a и b создает новый вектор, который перпендикулярен как a, так и b. Оно вычисляется через определитель матрицы 3×3. Длина полученного вектора равна площади параллелограмма, построенного на исходных векторах.

Как рассчитать векторное произведение методом определителя?

Создайте матрицу 3×3, где первая строка — орты i, j, k, вторая — компоненты вектора a, а третья — компоненты вектора b. Разложите её по первой строке: i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁). Полученные коэффициенты и будут компонентами вектора произведения.

Почему векторное произведение определено только в 3D?

Как векторная операция оно определено в 3-х и 7-ми измерениях, так как только в них существует единственный перпендикуляр к двум векторам. В 2D нет вектора, выходящего за пределы плоскости, а в более высоких измерениях пространство перпендикуляров многомерно.

Каков геометрический смысл модуля векторного произведения?

Модуль |a × b| равен площади параллелограмма, образованного векторами a и b. Половина этого значения — площадь треугольника. Это часто используется в физике (момент силы = r × F) и графике (расчет нормалей для теней и света).

Что такое правило правой руки для векторного произведения?

Правило правой руки определяет направление: если четыре пальца направить от a к b по кратчайшему пути, большой палец укажет направление a × b. Это объясняет антикоммутативность: a × b равно −(b × a).

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор векторного произведения" на сайте https://ru.miniWebtool.com// от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 2026-04-10

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.

Свойство	Формула	Описание
Векторное произведение	\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)	Компонентная форма произведения
Модуль (длина)	\(\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\)	Равен площади параллелограмма
Антикоммутативность	\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)	Смена порядка меняет направление на противоположное
Перпендикулярность	\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)	Результат всегда перпендикулярен обоим векторам
Тест на параллельность	\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}\)	Нулевое произведение означает параллельность векторов
Площадь треугольника	\(A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|\)	Половина площади параллелограмма

Калькулятор векторного произведения

О Калькулятор векторного произведения

Формула векторного произведения

Применение в реальном мире

Основные формулы

Векторное произведение vs Скалярное произведение

Векторное произведение (a × b)

Скалярное произведение (a · b)

Ключевые свойства

Понимание правила правой руки

Как пользоваться калькулятором векторного произведения

FAQ

Избранные инструменты: