Калькулятор дивергенции

Рассчитайте дивергенцию ∇·F любого 2D или 3D векторного поля с пошаговым вычислением частных производных. Введите компоненты P, Q (и R для 3D), получите символьную дивергенцию, значение в точке, определите источники и стоки, а также просмотрите интерактивную визуализацию векторного поля с тепловой картой дивергенции.

Embed Калькулятор дивергенции Widget

О Калькулятор дивергенции

Калькулятор дивергенции вычисляет дивергенцию ∇·F любого 2D или 3D векторного поля с полным пошаговым расчетом частных производных. Введите компоненты векторного поля P, Q (и R для 3D), при желании укажите конкретную точку и получите символьную дивергенцию, классификацию источника/стока, а для 2D-полей — интерактивную визуализацию с тепловой картой дивергенции и анимированным потоком частиц.

Что такое дивергенция?

Дивергенция векторного поля $\mathbf{F}$ — это скалярный оператор, который измеряет скорость, с которой поле «распространяется» из точки. Для трехмерного векторного поля $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Для 2D-поля $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ дивергенция равна $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. Дивергенция является фундаментальным понятием векторного исчисления, гидродинамики, электромагнетизма и дифференциальных уравнений.

Физический смысл дивергенции

🔴

Источник (∇·F > 0)

Жидкость вытекает наружу — выходит больше, чем входит. Подобно воде, бьющей из фонтана.

🔵

Сток (∇·F < 0)

Жидкость втекает внутрь — входит больше, чем выходит. Подобно воде, стекающей в отверстие.

🟢

Ноль (∇·F = 0)

Несжимаемый поток — то, что входит, равно тому, что выходит. Поле является соленоидальным.

🔄

Теорема Остроградского-Гаусса

Общая дивергенция внутри объема равна чистому потоку через его граничную поверхность.

Формулы дивергенции и системы координат

Система координат	Формула дивергенции
Декартова 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Декартова 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Цилиндрическая	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Сферическая	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Важные тождества с участием дивергенции

Тождество	Формула
Линейность	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Производная произведения (скаляр × вектор)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Дивергенция ротора	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (всегда)
Оператор Лапласа	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (дивергенция градиента = Лапласиан)
Теорема дивергенции	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Применение дивергенции

Поле	Применение	Что представляет дивергенция
Электромагнетизм	Закон Гаусса	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — плотность заряда создает дивергенцию электрического поля
Электромагнетизм	Магнитное поле	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — магнитных монополей не существует
Гидродинамика	Уравнение непрерывности	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ для несжимаемого потока
Теплопередача	Уравнение теплопроводности	Дивергенция теплового потока связана с изменением температуры
Общая относительность	Уравнения Эйнштейна	Условие бездивергентности тензора энергии-импульса

Как пользоваться калькулятором дивергенции

Выберите размерность: Выберите 2D для полей F = ⟨P, Q⟩ или 3D для F = ⟨P, Q, R⟩ с помощью кнопок переключения.
Введите компонентные функции: Введите каждую функцию компонента (P, Q и, при необходимости, R), используя стандартную нотацию. Используйте ^ для степеней, * для умножения и такие функции, как sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Поддерживается неявное умножение (например, 2x = 2*x).
Введите точку вычисления (необязательно): Укажите координаты через запятую, чтобы численно оценить дивергенцию и классифицировать точку как источник, сток или несжимаемую среду.
Нажмите Вычислить дивергенцию: Просмотрите символьную формулу дивергенции, пошаговый расчет частных производных, числовую оценку и классификацию источника/стока.
Изучите визуализацию: Для 2D-полей просмотрите стрелки векторного поля с цветовой тепловой картой дивергенции (красный = источник, синий = сток) и анимированным потоком частиц, показывающим поведение поля.

Пример решения

Найдите дивергенцию $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ в точке $(1, 1)$:

Шаг 1: Определите компоненты: $P = x$, $Q = y$.

Шаг 2: Вычислите частные производные: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Шаг 3: Сложите их: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Интерпретация: Поскольку $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, каждая точка является источником. Поле равномерно расширяется наружу — представьте, что жидкость выкачивается повсюду в плоскости.

FAQ

Что такое дивергенция векторного поля?

Дивергенция — это скалярный дифференциальный оператор, который измеряет скорость расширения или сжатия векторного поля в данной точке. Для 3D поля F = (P, Q, R) дивергенция равна сумме частных производных: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/dy + ∂R/∂z. Положительная дивергенция указывает на источник (расходящийся поток), отрицательная — на сток (сходящийся поток), а нулевая означает несжимаемый поток.

Как рассчитать дивергенцию?

Чтобы рассчитать дивергенцию, возьмите частную производную от каждой компонентной функции по соответствующей ей переменной, а затем сложите их все. Для 2D поля F = (P, Q) вычислите ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Для 3D добавьте ∂R/∂z. Результатом является скалярная функция (не вектор), которая говорит вам, насколько поле расширяется или сжимается в каждой точке.

Что означает, когда дивергенция равна нулю?

Когда дивергенция везде равна нулю, векторное поле называется соленоидальным или бездивергентным. В гидродинамике это означает, что жидкость несжимаема — в любой точке нет чистого расширения или сжатия. Магнитные поля всегда имеют нулевую дивергенцию (закон Гаусса для магнетизма: ∇·B = 0), а ротор любого векторного поля всегда бездивергентен (∇·(∇×F) = 0).

Каков физический смысл дивергенции?

Физически дивергенция измеряет чистый исходящий поток на единицу объема в точке. Представьте крошечную коробку в жидкости: если из коробки выходит больше жидкости, чем входит, дивергенция положительна (источник). Если входит больше, чем выходит, она отрицательна (сток). Эта концепция занимает центральное место в законах сохранения в физике, проявляясь в уравнении непрерывности, уравнениях Максвелла и уравнении теплопроводности.

В чем разница между дивергенцией и ротором?

Дивергенция и ротор — это дифференциальные операторы над векторными полями, но они измеряют разные вещи. Дивергенция (∇·F) измеряет расширение или сжатие и дает скаляр. Ротор (∇×F) измеряет вращение или циркуляцию и дает вектор. Поле может иметь ненулевую дивергенцию, но нулевой ротор (как F = (x, y)), или нулевую дивергенцию, но ненулевой ротор (как F = (−y, x)), или и то, и другое, или ничего из этого.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор дивергенции" на сайте https://ru.miniWebtool.com// от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой MiniWebtool. Обновлено: 2026-04-08

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.

Система координат	Формула дивергенции
Декартова 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Декартова 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Цилиндрическая	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Сферическая	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Тождество	Формула
Линейность	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Производная произведения (скаляр × вектор)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Дивергенция ротора	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (всегда)
Оператор Лапласа	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (дивергенция градиента = Лапласиан)
Теорема дивергенции	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Поле	Применение	Что представляет дивергенция
Электромагнетизм	Закон Гаусса	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — плотность заряда создает дивергенцию электрического поля
Электромагнетизм	Магнитное поле	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — магнитных монополей не существует
Гидродинамика	Уравнение непрерывности	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) для несжимаемого потока
Теплопередача	Уравнение теплопроводности	Дивергенция теплового потока связана с изменением температуры
Общая относительность	Уравнения Эйнштейна	Условие бездивергентности тензора энергии-импульса

Калькулятор дивергенции

О Калькулятор дивергенции

Что такое дивергенция?

Физический смысл дивергенции

Формулы дивергенции и системы координат

Важные тождества с участием дивергенции

Применение дивергенции

Как пользоваться калькулятором дивергенции

Пример решения

FAQ

Избранные инструменты: