Калькулятор ротора

Вычислите ротор (вихрь) ∇×F любого 2D или 3D векторного поля с пошаговым раскрытием определителя векторного произведения. Введите компоненты функций P, Q (и R для 3D), получите символьный ротор, вычислите значение в точке, определите безвихревые поля и просмотрите интерактивную визуализацию векторного поля с наложением интенсивности завихренности.

Калькулятор ротора

Embed Калькулятор ротора Widget

О Калькулятор ротора

Калькулятор ротора вычисляет ротор ∇×F любого 2D или 3D векторного поля с полным пошаговым разложением определителя векторного произведения. Введите компоненты векторного поля P, Q (и R для 3D), при необходимости задайте вычисление в конкретной точке и получите символьный ротор, классификацию вращения, а для 2D-полей — интерактивную визуализацию с тепловой картой завихренности и анимированным потоком частиц, демонстрирующим вращательное поведение поля.

Что такое ротор?

Ротор векторного поля $\mathbf{F}$ измеряет бесконечно малое вращение поля в каждой точке. Для 3D поля $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ ротор вычисляется как векторное произведение:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

Раскрытие определителя дает вектор ротора:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Для 2D поля $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ ротор сводится к скаляру $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, который представляет вращение в плоскости xy.

Физический смысл ротора

↺

Вращение ПЧС (ротор > 0)

Крошечное лопастное колесо, помещенное сюда, будет вращаться против часовой стрелки. Поле циркулирует в положительном направлении.

↻

Вращение ПЧ (ротор < 0)

Крошечное лопастное колесо, помещенное сюда, будет вращаться по часовой стрелке. Поле циркулирует в отрицательном направлении.

⊘

Безвихревое (ротор = 0)

Чистого вращения нет — поле потенциально. Существует потенциальная функция φ, такая что F = ∇φ.

♻

Теорема Стокса

Поверхностный интеграл от ротора равен линейному интегралу по границе: циркуляция = общее вращение.

Формулы ротора в различных системах координат

Система координат	Формула ротора
Декартова 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (скаляр)
Декартова 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Цилиндрическая	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Сферическая	См. полное разложение с использованием масштабных коэффициентов $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Важные тождества с ротором

Тождество	Формула
Ротор градиента	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (всегда ноль — градиенты безвихревы)
Дивергенция ротора	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (всегда ноль — роторы соленоидальны)
Линейность	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Правило произведения	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Теорема Стокса	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Применение ротора

Поле	Применение	Что представляет ротор
Электромагнетизм	Закон Фарадея	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — меняющиеся магнитные поля создают циркулирующие электрические поля
Электромагнетизм	Закон Ампера	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — электрические токи создают циркулирующие магнитные поля
Динамика жидкости	Завихренность	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — измеряет, как локально вращается жидкость
Механика	Угловая скорость	Для вращения твердого тела $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, ротор дает $2\boldsymbol{\omega}$
Потенциальные поля	Независимость от пути	Если $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, криволинейные интегралы не зависят от пути и существует потенциал

Как пользоваться калькулятором ротора

Выберите размерность: Выберите 2D для полей F = ⟨P, Q⟩ (скалярный ротор) или 3D для F = ⟨P, Q, R⟩ (векторный ротор) с помощью кнопок переключения.
Введите компонентные функции: Введите каждую компоненту (P, Q и, при необходимости, R), используя стандартную нотацию. Используйте ^ для степеней, * для умножения и функции типа sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Поддерживается неявное умножение (например, 2x = 2*x).
Введите точку вычисления (необязательно): Укажите координаты через запятую, чтобы вычислить ротор численно и классифицировать направление вращения.
Нажмите Вычислить ротор: Просмотрите символьный ротор, пошаговое разложение определителя векторного произведения, численный расчет и классификацию вращения.
Изучите визуализацию: Для 2D-полей просмотрите стрелки векторного поля с тепловой картой завихренности (оранжевый = против часовой стрелки, фиолетовый = по часовой стрелке) и анимированный поток частиц.

Пример решения

Найдите ротор $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ в точке $(1, 2, 3)$:

Шаг 1: Запишем определитель: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Шаг 2: Разложим: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Шаг 3: Ротор тождественно равен нулю — это поле является безвихревым (потенциальным). Фактически, $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, что подтверждает наличие потенциальной функции.

Ротор vs Дивергенция

Свойство	Ротор (∇×F)	Дивергенция (∇·F)
Тип оператора	Векторное произведение с ∇	Скалярное произведение с ∇
Результат	Вектор (3D) / Скаляр (2D)	Скаляр
Измеряет	Вращение / циркуляцию	Расширение / сжатие
Равенство нулю	Безвихревое / потенциальное	Соленоидальное / несжимаемое
Теорема	Теорема Стокса	Теорема дивергенции (Гаусса)

FAQ

Что такое ротор векторного поля?

Ротор векторного поля измеряет тенденцию вращения или циркуляции в каждой точке. Для 3D поля F = (P, Q, R) ротор — это вектор, вычисляемый через векторное произведение оператора набла с F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Положительный ротор указывает на вращение против часовой стрелки, отрицательный — по часовой стрелке.

Как рассчитать ротор?

Чтобы рассчитать ротор 3D векторного поля, составьте определитель 3×3 с единичными векторами i, j, k в первой строке, операторами частных производных ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z во второй строке и компонентами поля P, Q, R в третьей строке. Разложите определитель по первой строке, чтобы получить каждую компоненту вектора ротора.

Что означает, если ротор равен нулю?

Если ротор везде равен нулю, векторное поле называется безвихревым или потенциальным. Это означает, что существует скалярная потенциальная функция φ, такая что F = ∇φ, а линейный интеграл F по любому замкнутому контуру равен нулю. Гравитационные и электростатические поля являются примерами безвихревых полей.

В чем разница между ротором и дивергенцией?

Ротор измеряет вращение и дает вектор (в 3D), тогда как дивергенция измеряет расширение или сжатие и дает скаляр. Ротор использует векторное произведение набла с F (∇×F), в то время как дивергенция использует скалярное произведение (∇·F). Поле может иметь ненулевой ротор, но нулевую дивергенцию (как F = (−y, x, 0)), или нулевой ротор, но ненулевую дивергенцию (как F = (x, y, z)).

Каков физический смысл ротора?

Физически ротор измеряет тенденцию векторного поля циркулировать или вращаться вокруг точки. Представьте, что вы поместили крошечное лопастное колесо в поток жидкости — ротор подскажет вам, как быстро и в каком направлении оно будет вращаться. В электромагнетизме ротор фигурирует в законе Фарадея (изменяющиеся магнитные поля создают циркулирующие электрические поля) и законе Ампера (токи создают циркулирующие магнитные поля). В динамике жидкости ротор скорости называется завихренностью.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор ротора" на сайте https://ru.miniWebtool.com// от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 2026-04-08

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.

Система координат	Формула ротора
Декартова 2D	\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (скаляр)
Декартова 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Цилиндрическая	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Сферическая	См. полное разложение с использованием масштабных коэффициентов \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Тождество	Формула
Ротор градиента	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (всегда ноль — градиенты безвихревы)
Дивергенция ротора	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (всегда ноль — роторы соленоидальны)
Линейность	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Правило произведения	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Теорема Стокса	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Поле	Применение	Что представляет ротор
Электромагнетизм	Закон Фарадея	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — меняющиеся магнитные поля создают циркулирующие электрические поля
Электромагнетизм	Закон Ампера	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — электрические токи создают циркулирующие магнитные поля
Динамика жидкости	Завихренность	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — измеряет, как локально вращается жидкость
Механика	Угловая скорость	Для вращения твердого тела \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\), ротор дает \(2\boldsymbol{\omega}\)
Потенциальные поля	Независимость от пути	Если \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), криволинейные интегралы не зависят от пути и существует потенциал

Калькулятор ротора

О Калькулятор ротора

Что такое ротор?

Физический смысл ротора

Формулы ротора в различных системах координат

Важные тождества с ротором

Применение ротора

Как пользоваться калькулятором ротора

Пример решения

Ротор vs Дивергенция

FAQ

Избранные инструменты: