Калькулятор момента инерции

Этот универсальный Калькулятор момента инерции объединяет оба значения этого технического термина — геометрический момент инерции площади (второй момент площади), применяемый инженерами-строителями для расчета прогиба балок под нагрузкой, и массовый момент инерции, используемый в машиностроении и аэрокосмической индустрии для анализа реакции тел на крутящий момент. Выберите одну из 15 готовых фигур, укажите размеры в любых удобных единицах измерения, следите за интерактивным изменением чертежа на лету и получите точное значение момента инерции вместе со связанными параметрами: площадью сечения, полярным моментом J, моментом сопротивления S, радиусом инерции k и подробным пошаговым решением. Поле для теоремы Штейнера (о параллельных осях) позволяет пересчитать результат для любой оси, параллельной центральной, указав всего одно число.

Как использовать этот Калькулятор момента инерции

1. Выберите вкладку Геометрический момент инерции сечения (площади), если вы рассчитываете балку на прочность, или Массовый момент инерции, если исследуете вращение. Галерея фигур автоматически отфильтрует подходящие варианты.
2. Нажмите на нужную карточку фигуры — прямоугольник, круг, полая труба, треугольник, полый короб, двутавр, полукруг, тонкий стержень, сплошной или полый цилиндр, сплошная или полая сфера, прямоугольная пластина. На экране появятся необходимые поля ввода размеров, а чертеж справа мгновенно адаптируется.
3. Введите линейные размеры в мм, см, м, дюймах или футах. Для массового режима также заполните поле общей массы в кг, г, фунтах, тоннах или унциях.
4. Укажите результирующую единицу измерения — мм⁴ / см⁴ / м⁴ / дюйм⁴ / фт⁴ для геометрического момента площади, либо кг·м² / кг·см² / г·см² / фнт·фт² / фнт·дюйм² для массового момента инерции.
5. При необходимости введите расстояние смещения оси по теореме параллельного переноса. Калькулятор автоматически применит равенство \(I' = I + A d^2\) (для площади) или \(I' = I + m d^2\) (для массы).
6. Нажмите кнопку Рассчитать, чтобы сгенерировать значение момента инерции, полярный момент, момент сопротивления, радиус инерции, высокоточную SVG-диаграмму сечения с отметкой центра тяжести и осей, а также детальный пошаговый вывод формул в формате LaTeX.

Основные преимущества нашего инструмента

Сравнение моментов инерции: площадь против массы

Хотя оба понятия звучат похоже и обозначаются одинаковой буквой \(I\), они относятся к совершенно разным физическим величинам. Геометрический момент инерции площади \(I_x = \int_A y^2 \,dA\) зависит исключительно от геометрии поперечного сечения — свойства самого материала здесь не играют роли. Его размерность — длина в четвертой степени (мм⁴, см⁴, м⁴ или дюйм⁴). Он незаменим при расчете конструкций: чем выше \(I_x\), тем меньше балка будет деформироваться под воздействием изгибающего момента. Массовый момент инерции \(I = \int r^2 \,dm\) зависит как от общей величины массы, так и от удаленности этой массы от оси вращения объекта. Его размерность — масса × длина² (кг·м², г·см², фнт·фт² или фнт·дюйм²). Он используется в динамике вращения: уравнение \(\tau = I\alpha\) представляет собой вращательную форму второго закона Ньютона.

Формулы для базовых геометрических фигур и тел

Расчеты для всех поддерживаемых калькулятором типов геометрии опираются на классические формулы, приведенные ниже. Все они справедливы относительно центральной оси, указанной на схемах; для переноса на другие оси используется теорема параллельного переноса (теорема Штейнера).

Теорема о параллельных осях (Теорема Штейнера)

Стандартные справочные формулы предполагают, что ось вращения или изгиба строго проходит через центр тяжести фигуры. Чтобы найти момент инерции относительно любой другой оси, проходящей параллельно центральной, достаточно прибавить корректирующее слагаемое:

\[ I_{x'} \;=\; I_x \;+\; A\,d^{2} \qquad \text{(для площади)} \qquad I' \;=\; I \;+\; m\,d^{2} \qquad \text{(для массы)} \]

где \(d\) — расстояние между осями параллельного переноса, \(A\) — площадь рассматриваемого сечения, а \(m\) — полная масса физического тела. Наш калькулятор рассчитывает это автоматически, как только вы заполняете необязательное поле смещения оси.

Практический пример: Расчет сечения двутавра

Широкополочный двутавр профиля W12×40 имеет полную высоту H = 12 дюймов, ширину полки B = 8 дюймов, толщину полки t_f = 0.515 дюйма и толщину центральной стенки t_w = 0.295 дюйма. Высота внутренней стенки составляет \(h_w = H - 2 t_f = 10.97\) дюйма.

• \( I_x = B H^{3}/12 - (B - t_w)\,h_w^{3}/12 = 8 \cdot 12^{3}/12 - (8 - 0.295) \cdot 10.97^{3}/12 \approx 1152 - 847 \approx 305 \) дюйм⁴.
• Этот результат с высокой инженерной точностью совпадает с табличным значением стандарта AISC, составляющим 307 дюйм⁴.
• При действии изгибающего момента \(M = 50000\) фнт·дюйм пиковое изгибающее напряжение в крайних точках составит \( \sigma = M c / I = 50000 \cdot 6 / 307 \approx 977 \) фунтов на кв. дюйм (psi).

Практический пример: Расчет маховика

Сплошной стальной маховик массой 20 кг и внешним радиусом 0.30 м вращается вокруг собственной центральной оси:

• \( I = m r^{2}/2 = 20 \cdot 0.30^{2} / 2 = 0.9\) кг·м².
• Вращающий момент, требуемый для его разгона из состояния покоя до 60 об/мин (\(\omega = 6.28\) рад/с) за 5 секунд (\( угловое ускорение \alpha = 1.26\) рад/с²), рассчитывается как \( \tau = I \alpha = 0.9 \cdot 1.26 \approx 1.13\) Н·м.
• Кинетическая энергия вращения на скорости 60 об/мин равна \( K = \tfrac{1}{2} I \omega^{2} = 0.5 \cdot 0.9 \cdot 6.28^{2} \approx 17.7\) Дж.

Момент сопротивления, радиус инерции и полярный момент

Для геометрических параметров площадей калькулятор рассчитывает три вспомогательные величины, повсеместно используемые в сопромате и строительной механике:

• Момент сопротивления сечения \(S = I_x / c\), где \(c\) — максимальное расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных волокон материала. Напрямую используется в расчетах прочности на изгиб: \( \sigma = M / S \).
• Радиус инерции \(k = \sqrt{I / A}\) (для геометрии площади) или \(k = \sqrt{I / m}\) (для массы). Это эквивалентное расстояние, на котором можно условно сосредоточить всю площадь или массу в виде одной точки без изменения общего момента инерции I. Применяется в формуле Эйлера для продольного изгиба (устойчивости стоек) и при записи кинетической энергии вращения в виде \(KE = \tfrac{1}{2} m (k\omega)^{2}\).
• Полярный момент инерции сечения \(J = I_x + I_y\), отражающий геометрическую жесткость площади относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости среза. Определяет напряжения сдвига при кручении круглых валов: \(\tau = T r / J\).

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

В чем разница между моментом инерции площади и массовым моментом инерции?
Момент инерции площади зависит исключительно от геометрической формы сечения элемента и применяется для расчета балок на изгиб и прогиб — измеряется в длина⁴ (мм⁴, дюйм⁴). Массовый момент инерции зависит от веса тела и характера распределения этой массы вокруг оси вращения, используясь в динамике механизмов — измеряется в масса × длина² (кг·м², фнт·фт²). Они имеют одинаковый символ I, но служат для решения разных физических задач.

Как рассчитать момент инерции I для прямоугольника?
Относительно центральной горизонтальной оси x формула имеет вид \(I_x = b h^{3}/12\). Относительно центральной вертикальной оси y она преобразуется в \(I_y = h b^{3}/12\). Полярный момент относительно перпендикулярной оси равен их сумме: \(J = I_x + I_y\).

Как рассчитать момент инерции I для круга?
Для сплошного круга диаметром d геометрический момент равен \(I = \pi d^{4}/64\) относительно любого центрального диаметра, а полярный момент равен \(J = \pi d^{4}/32\). Для полых труб из внешнего значения вычитается внутреннее: \(I = \pi (D^{4} - d^{4})/64\).

Что формулирует теорема о параллельных осях (теорема Штейнера)?
Она устанавливает соотношение \(I_{параллельный} = I_{центральный} + A d^{2}\) для геометрических моментов и \(I_{параллельный} = I_{центральный} + m d^{2}\) для массовых, где d — величина смещения между осями. Наш онлайн-калькулятор делает этот пересчет автоматически при заполнении поля смещения.

Чему равен массовый момент инерции сплошного шара (сферы)?
Он составляет \(I = \tfrac{2}{5} m r^{2}\) относительно любого центрального диаметра. Для полой тонкостенной сферы (сферической оболочки) аналогичной массы и радиуса формула примет вид \(\tfrac{2}{3} m r^{2}\) — значение больше, поскольку вся масса удалена к внешней границе.

Что такое момент сопротивления и где он нужен?
Это геометрический параметр \(S = I_x / c\), где c — расстояние до крайней точки профиля. Предельное изгибающее напряжение рассчитывается как \(\sigma = M / S\). Чем выше показатель S, тем больший изгибающий момент способна выдержать балка при заданном допускаемом напряжении материала.

Почему двутавровый профиль прочнее сплошного прямоугольного бруса аналогичной площади?
Потому что при интегрировании геометрического момента инерции каждый элемент площади учитывается с весом, пропорциональным квадрату расстояния до нейтральной оси. Конструкция двутавра концентрирует основной объем металла в удаленных полках, поэтому каждый килограмм стали работает на сопротивление изгибу в разы эффективнее, чем тот же килограмм, расположенный близко к центру в сплошном брусе. По этой причине в строительстве и машиностроении балки почти всегда делают двутавровыми.