Калькулятор Вписанной Окружности
Рассчитайте параметры вписанной окружности (инцикла) треугольника. Введите длины трех сторон или координаты вершин, чтобы найти радиус вписанной окружности, инцентр, точки и длины касательных, контактный треугольник, а также просмотреть интерактивную диаграмму с пошаговыми формулами.
Ваш блокировщик рекламы мешает показывать объявления
MiniWebtool бесплатен благодаря рекламе. Если этот инструмент помог, поддержите нас через Premium (без рекламы + быстрее) или добавьте MiniWebtool.com в исключения и обновите страницу.
- Или перейдите на Premium (без рекламы)
- Разрешите показ рекламы на MiniWebtool.com, затем перезагрузите страницу.
О Калькулятор Вписанной Окружности
Калькулятор вписанной окружности находит параметры вписанной окружности любого треугольника. Вписанная окружность — также известная как инсфера в более широком смысле — это самая большая окружность, которая полностью помещается внутри треугольника и касается всех трех его сторон. Введите три длины сторон или координаты трех вершин, чтобы мгновенно вычислить радиус вписанной окружности, положение инцентра, точки касания, длины касательных, контактный треугольник, радиусы вневписанных окружностей и многое другое с помощью интерактивной SVG-диаграммы и пошаговых формул.
Основные понятия вписанной окружности
Формулы вписанной окружности
Для треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром s = (a + b + c) / 2:
| Свойство | Формула | Описание |
|---|---|---|
| Площадь треугольника (Герона) | \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) | Площадь по трем сторонам через полупериметр |
| Радиус вписанной окружности | \(r = \frac{K}{s}\) | Радиус инсферы |
| Площадь вписанной окружности | \(A = \pi r^2\) | Площадь, ограниченная окружностью |
| Длина вписанной окружности | \(C = 2\pi r\) | Периметр окружности |
| Координаты инцентра | \(I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c}\) | Средневзвешенное значение вершин по длинам сторон |
| Длина касательной из A | \(t_A = s - a\) | Расстояние от вершины A до ближайших точек касания |
| Радиус вневписанной окружности | \(r_A = \frac{K}{s-a}\) | Радиус окружности, касающейся стороны a снаружи |
| Расстояние Эйлера | \(d = \sqrt{R(R-2r)}\) | Расстояние между центром описанной окружности и инцентром |
Вписанная vs. Описанная окружность
Вписанная и описанная окружности — две самые фундаментальные окружности треугольника, обладающие разными свойствами:
- Вписанная окружность: Находится внутри, касается сторон. Находится через биссектрисы. Инцентр всегда внутри.
- Описанная окружность: Проходит через вершины, обычно больше. Находится через серединные перпендикуляры. Центр может быть снаружи.
- Неравенство Эйлера: Для любого треугольника \(R \geq 2r\), равенство только для равносторонних.
Длины касательных и контактный треугольник
Когда вписанная окружность касается стороны BC в точке D, стороны CA в точке E и стороны AB в точке F, длины касательных из каждой вершины равны: от A расстояния AF = AE = s − a; от B расстояния BF = BD = s − b; от C расстояния CD = CE = s − c. Треугольник DEF, образованный этими точками, называется контактным треугольником. Он обладает особыми свойствами: его углы связаны с углами исходного треугольника формулой ∠D = 90° − A/2.
Вневписанные окружности: Три спутника
У каждого треугольника есть три вневписанные окружности — окружности, касающиеся одной стороны и продолжений двух других сторон. Вневписанная окружность напротив вершины A имеет радиус r_A = K/(s−a), напротив B — r_B = K/(s−b), напротив C — r_C = K/(s−c). Элегантное тождество связывает все четыре радиуса: 1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C. Эти окружности важны в продвинутой геометрии и построении точки Нагеля.
Как найти вписанную окружность
- Выберите метод ввода: Выберите "Три стороны", если знаете длины a, b, c, или "Три вершины", если есть координаты каждой вершины.
- Введите значения: Введите длины или координаты (x, y). Используйте примеры для автоматического заполнения.
- Нажмите Рассчитать: Нажмите кнопку "Рассчитать вписанную окружность".
- Изучите результаты: Посмотрите радиус r, координаты инцентра, площадь, длину окружности, точки касания и отношение R/r.
- Используйте диаграмму: Переключайте слои биссектрис, точек касания и контактного треугольника для визуализации.
Практическое применение
Вписанная окружность находит применение во многих областях. В производстве радиус r определяет максимальный размер круглого компонента (болт, сверло, труба), который поместится в треугольное отверстие. В архитектуре инцентры помогают проектировать круглые элементы в треугольных планировках. В вычислительной геометрии эти данные используются в алгоритмах улучшения сетки для конечно-элементного анализа. Радиус также служит мерой "полноты" треугольника — тонкие треугольники имеют малые радиусы относительно описанных, что важно для численной стабильности симуляций.
FAQ
Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:
"Калькулятор Вписанной Окружности" на сайте https://ru.miniWebtool.com// от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
от команды miniwebtool. Обновлено: 2026-04-03
Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.