Калькулятор кривизны

Q: Как рассчитать кривизну параметрической кривой?

Для параметрической кривой, заданной уравнениями x(t) и y(t), формула кривизны: κ = |x'y'' - y'x''| / ((x')² + (y')²)^(3/2). Это требует вычисления первой и второй производных как x(t), так и y(t) по параметру t.

Q: Может ли кривизна быть отрицательной?

В стандартной формуле скалярной кривизны κ всегда неотрицательна из-за модуля в числителе. Однако ориентированная кривизна (без модуля) может быть положительной или отрицательной, указывая на то, изгибается ли кривая влево или вправо. Данный калькулятор вычисляет неориентированную (неотрицательную) кривизну.

Введите y=f(x) или параметрическую кривую и точку, чтобы получить кривизну, радиус кривизны и соприкасающуюся окружность с шагами дифференцирования.

3 бесплатных использования в деньБез регистрацииОбновлено фев 2026

Калькулятор кривизныПопробуйте — бесплатно ▼

Быстрые примеры — нажмите, чтобы попробовать:

y = x²при x=1 y = sin(x)при x=π/2 y = eˣпри x=0 Окружностьcos(t), sin(t) Эллипс2cos(t), sin(t) y = x³−3xпри x=0

Тип кривой

Функция f(x)

Используйте ** для степени, sin, cos, exp, sqrt, log, pi

Вычислить при x =

Число или выражение, например pi/4, sqrt(2)

Совет: Используйте ^ или ** для степеней. Работает неявное умножение: 2x = 2*x. Константы: pi, e.

Embed Калькулятор кривизны Widget

О Калькулятор кривизны

Добро пожаловать в Калькулятор кривизны — мощный инструмент математического анализа, который вычисляет кривизну (κ) кривой в любой заданной точке. Независимо от того, имеете ли вы явную функцию y = f(x) или параметрическую кривую, заданную x(t) и y(t), этот калькулятор предоставляет точные символьные результаты, пошаговые вычисления производных, радиус кривизны и визуализацию, показывающую соприкасающуюся окружность — окружность, которая наилучшим образом приближает кривую в выбранной вами точке.

Что такое кривизна?

Кривизна (κ) измеряет, насколько сильно кривая изгибается в конкретной точке. Интуитивно она количественно определяет скорость изменения направления касательной при движении вдоль кривой. Прямая линия имеет нулевую кривизну везде, в то время как резкий поворот имеет высокую кривизну.

➖

Прямая линия

κ = 0 везде. Изгиб отсутствует.

⭕

Окружность (радиус r)

κ = 1/r константа. Меньше круг → выше кривизна.

〰️

Общая кривая

κ меняется вдоль кривой. Резкие изгибы = высокая κ.

Формулы кривизны

Для явной функции y = f(x)

Кривизна y = f(x)

$$\kappa = \frac{|f''(x)|}{\left(1 + (f'(x))^2\right)^{3/2}}$$

Где:

f'(x) = первая производная (наклон касательной линии)
f''(x) = вторая производная (скорость изменения наклона)

Для параметрической кривой x(t), y(t)

Кривизна параметрической кривой

$$\kappa = \frac{|x'\,y'' - y'\,x''|}{\left((x')^2 + (y')^2\right)^{3/2}}$$

Где штрихи обозначают производные по параметру t.

Радиус кривизны

$$R = \frac{1}{\kappa}$$

Радиус кривизны R является величиной, обратной кривизне. Он равен радиусу соприкасающейся окружности — единственной окружности, которая наилучшим образом приближает кривую в данной точке.

Как пользоваться этим калькулятором

Выберите тип кривой: Выберите "y = f(x)" для явных функций или "x(t), y(t)" для параметрических кривых.
Введите функцию: Введите выражение, используя стандартную математическую нотацию. Используйте ** для возведения в степень, sin, cos, exp, log, sqrt, pi и т. д.
Укажите точку: Введите значение x (или значение t для параметрических), в которой вы хотите вычислить кривизну.
Нажмите Рассчитать: Посмотрите кривизну κ, радиус кривизны R, пошаговое вычисление и визуализацию соприкасающейся окружности.

Понимание результатов

Кривизна (κ): Основной результат — насколько сильно кривая изгибается в точке. Всегда неотрицательна.
Радиус кривизны (R): Радиус соприкасающейся окружности. R = 1/κ. Чем больше R, тем плавнее изгиб.
Соприкасающаяся окружность: Зеленая пунктирная окружность на графике, которая лучше всего приближает кривую локально. Ее центр лежит на вогнутой стороне кривой.
Пошаговый расчет: Полное вычисление производных, показывающее, как получено значение κ.

Общие значения кривизны

Кривая	Кривизна κ	Радиус R
Прямая линия y = mx + b	0	∞
Окружность радиуса r	1/r	r
y = x² при x = 0	2	0.5
y = sin(x) при x = 0	0	∞
y = sin(x) при x = π/2	1	1
y = eˣ при x = 0	1/(2√2) ≈ 0.354	2√2 ≈ 2.828

Соприкасающаяся окружность

Соприкасающаяся окружность (от латинского osculare — «целовать») в точке P на кривой — это окружность, которая:

Проходит через точку P
Имеет то же направление касательной, что и кривая в точке P
Имеет ту же кривизну, что и кривая в точке P

Это наилучшее круговое приближение к кривой вблизи этой точки. Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны, и он всегда лежит на вогнутой стороне кривой вдоль вектора единичной нормали.

Применение кривизны

Проектирование дорог и железных дорог

Инженеры используют кривизну для проектирования дорог и железнодорожных путей. Максимальная кривизна определяет минимальный радиус поворота, что влияет на безопасную скорость движения. Переходные кривые (клотоиды) обеспечивают плавный переход между прямыми и криволинейными участками за счет линейного изменения кривизны.

Компьютерная графика и САПР

В системах автоматизированного проектирования непрерывность кривизны (непрерывность G2) гарантирует гладкость поверхностей. Гребенки кривизны визуализируют изменение кривизны вдоль кривой, помогая дизайнерам создавать эстетически привлекательные формы автомобилей, самолетов и потребительских товаров.

Оптика и дизайн линз

Кривизна поверхностей линз определяет их фокусное расстояние и оптические свойства. Формула тонкой линзы напрямую связывает кривизну поверхностей с оптической силой линзы.

Физика: Движение частиц

В физике кривизна связана с центростремительным ускорением. Частица, движущаяся по криволинейной траектории со скоростью v, испытывает центростремительное ускорение a = κv², которое перпендикулярно направлению скорости.

Дифференциальная геометрия

Кривизна — фундаментальное понятие дифференциальной геометрии. Для поверхностей гауссова кривизна (произведение главных кривизн) определяет, является ли поверхность локально сферической, седловидной или плоской. Это распространяется и на общую теорию относительности, где кривизна пространства-времени описывает гравитацию.

Руководство по вводу

Операция	Нотация	Пример
Степень	`**` или `^`	`x**3` или `x^3`
Квадратный корень	`sqrt()`	`sqrt(x)`
Триг. функции	`sin, cos, tan`	`sin(x), cos(2*t)`
Обратные триг.	`asin, acos, atan`	`atan(x)`
Экспонента	`exp()`	`exp(-x**2)`
Натуральный логарифм	`log()` или `ln()`	`log(x)`
Константы	`pi`, `e`	`pi/4`, `e**x`
Умножение	`*` (или неявное)	`2*x` или `2x`

Часто задаваемые вопросы

Что такое кривизна в математическом анализе?

Кривизна (κ) — это мера того, насколько сильно кривая изгибается в данной точке. Прямая линия имеет нулевую кривизну, а окружность радиуса r имеет постоянную кривизну κ = 1/r. Для функции y=f(x) формула выглядит так: κ = |f''(x)| / (1 + (f'(x))²)^(3/2).

Как рассчитать кривизну параметрической кривой?

Для параметрической кривой, заданной x(t) и y(t), формула кривизны: κ = |x'y'' - y'x''| / ((x')² + (y')²)^(3/2). Это требует вычисления первой и второй производных как x(t), так и y(t) по параметру t.

Что такое соприкасающаяся окружность?

Соприкасающаяся окружность в точке на кривой — это окружность, которая наилучшим образом приближает кривую в этой точке. Ее радиус равен радиусу кривизны R = 1/κ, а ее центр лежит на нормали к кривой в этой точке со стороны вогнутости.

Что такое радиус кривизны?

Радиус кривизны R — это величина, обратная кривизне: R = 1/κ. Он представляет собой радиус соприкасающейся окружности. Большой радиус означает плавный изгиб кривой (почти прямая), а малый радиус означает резкий изгиб.

Что означает нулевая кривизна?

Нулевая кривизна в точке означает, что кривая локально представляет собой прямую линию — изгиб отсутствует. Вторая производная f''(x) в этой точке равна нулю (для явных кривых). Радиус кривизны бесконечен, что означает вырождение соприкасающейся окружности в прямую линию.

Может ли кривизна быть отрицательной?

В стандартной формуле скалярной кривизны кривизна κ всегда неотрицательна из-за модуля в числителе. Однако ориентированная кривизна (без модуля) может быть положительной или отрицательной, указывая на направление изгиба (влево или вправо). Данный калькулятор вычисляет неориентированную (неотрицательную) кривизну.

Дополнительные ресурсы

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор кривизны" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-кривизны/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

команда miniwebtool. Обновлено: 18 февраля 2026 г.