Как решить задачу типа «У меня 20 монет на сумму $1.40 пятицентовиками и десятицентовиками»?

Пусть x — количество десятицентовиков, а y — количество пятицентовиков. Тогда x плюс y равно 20, а десять x плюс пять y равно 140 центам. Вычтите из второго уравнения первое, умноженное на пять, чтобы получить пять x равно 40, следовательно x равно 8 десятицентовиков, а y равно 12 пятицентовиков. Решатель распишет все эти шаги за вас.

Решатель задач с монетами

Решайте классические текстовые задачи на монеты пошагово — "У меня N монет на общую сумму V в никелях и даймах", "в два раза больше четвертаков, чем даймов", задачи с тремя видами монет и "наименьшее количество монет для суммы V". Настраивает алгебраические уравнения, решает систему линейных уравнений, анимирует стопки монет и проверяет ответ.

Быстрые примеры →

🪙

…

1 Выберите тип задачи

Модель задачи Четыре канонических модели покрывают большинство школьных задач.

Валюта США ($), Великобритания (£) или Евро (€).

2 Выберите номиналы монет

Монета A

Монета B

Монета C

3 Введите итоги

Общее количество монет Сколько всего монет.

Общая стоимость например, 1.40 для $1.40 или 140¢.

3 Введите отношение и стоимость

Соотношение между A и B

Множитель K 2 для «в два раза», 3 для «в три раза», 0.5 для «половина».

Смещение количества M На сколько больше (или меньше) A, чем B.

Общая стоимость Общая денежная стоимость всех монет.

3 Итоги и соотношение

Всего монет

Общая стоимость

K (Кол-во C = K × Кол-во B)

3 Целевая сумма и номиналы

Целевая сумма Сумма, которую нужно собрать. Десятичное число или, например, 87¢.

Использовать свои номиналы По умолчанию используются стандартные монеты выбранной валюты.

Свои номиналы (мелкие единицы, через запятую) например, 1,3,4 — классический пример, где жадный алгоритм дает сбой.

Embed Решатель задач с монетами Widget

О Решатель задач с монетами

Текстовые задачи с монетами — это один из самых распространенных способов, с помощью которого учебники по алгебре учат переводить предложения типа «У меня есть 20 монет стоимостью $1.40 пяти- и десятицентовиками» в систему уравнений. На первый взгляд они кажутся простыми, но именно они открывают путь к изучению систем линейных уравнений, методов подстановки и исключения. Этот решатель охватывает все распространенные модели: количество плюс стоимость, соотношения количеств, смеси из трех монет с зависимостью и классическую головоломку «наименьшее количество монет для получения суммы». Он расписывает алгебраическое решение пошагово, чтобы вы могли видеть, как слова превращаются в уравнения.

Что вы можете решить здесь

Количество + стоимость: «У меня есть N монет двух номиналов на общую сумму V долларов. Сколько монет каждого вида?»
Стоимость + соотношение: «Монет типа A в K раз больше, чем монет типа B; общая стоимость равна V. Сколько штук каждого вида?»
Смесь из трех монет: «Всего N монет трех номиналов на сумму V; количество монет C в K раз больше количества монет B.»
Наименьшее количество монет: «Какое минимальное количество монет составляет ровно сумму V?» — решается методом динамического программирования, поэтому ответ всегда оптимален, даже для неканонических наборов номиналов, где жадный алгоритм ошибается.

Два универсальных уравнения

Уравнение количества

$x + y + z + \dots = N$

Количество монет каждого вида в сумме дает общее число монет.

Уравнение стоимости

$d_1 x + d_2 y + d_3 z + \dots = V$

Номинал каждой монеты, умноженный на ее количество, в сумме дает общую стоимость (в мелких единицах).

Соотношение (опционально)

$x = K y$ или $x = y + M$

Многие задачи добавляют третье уравнение, связывающее количество одного вида монет с другим.

Как пользоваться этим решателем

Выберите модель задачи, которая соответствует условию в вашем учебнике (или заданию ребенка).
Выберите валюту и конкретные номиналы монет, упомянутые в задаче.
Введите известные итоговые значения — количество монет, общую стоимость и любое соотношение или разницу между количествами.
Нажмите «Решить задачу с монетами». Панель результатов покажет количество монет каждого номинала, анимированные стопки, составленные уравнения и пошаговый вывод решения.

Пример решения — пяти- и десятицентовики

Задача: У меня 20 монет на сумму $1.40 пятицентовиками (nickels) и десятицентовиками (dimes). Сколько монет каждого вида?

Настройка: Пусть $x$ — количество десятицентовиков, а $y$ — количество пятицентовиков. Каждый десятицентовик стоит 10¢, а пятицентовик — 5¢, поэтому:

$x + y = 20$
$10x + 5y = 140$ (в центах)

Подставим $y = 20 - x$ во второе уравнение: $10x + 5(20 - x) = 140$ → $5x + 100 = 140$ → $x = 8$. Таким образом, 8 десятицентовиков и 12 пятицентовиков. Проверка: $10(8) + 5(12) = 140$ ✓ и $8 + 12 = 20$ ✓.

Почему «наименьшее количество монет» может быть сложной задачей

Для монет США, Великобритании и Евро жадный алгоритм (выбирать самую крупную подходящую монету, затем повторять) всегда дает оптимальный ответ. Но это верно не для любого набора номиналов. Классический контрпример — номиналы {1, 3, 4} для суммы 6: жадный алгоритм выдаст 3 монеты (4+1+1), но оптимум — 2 монеты (3+3). Этот решатель использует динамическое программирование, которое гарантированно находит истинный минимум независимо от набора монет. Включите «Использовать свои номиналы» и попробуйте ввести 1, 3, 4 для суммы 6, чтобы увидеть разницу вживую.

Номиналы монет по валютам

Валюта	Стандартные монеты
USD ($)	1¢ пенни, 5¢ никель, 10¢ дайм, 25¢ квотер, 50¢ полдоллара, $1 доллар
GBP (£)	1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1, £2
EUR (€)	1¢, 2¢, 5¢, 10¢, 20¢, 50¢, €1, €2

FAQ

Что такое текстовая задача с монетами?

Это задача, описывающая коллекцию монет двух или более номиналов с помощью условий об их общем количестве, общей денежной стоимости и соотношении между ними. Она переводится в небольшую систему линейных уравнений для нахождения количества монет каждого типа.

Как решить «У меня 20 монет на сумму $1.40 пяти- и десятицентовиками»?

Пусть $x$ — количество десятицентовиков, а $y$ — количество пятицентовиков. Тогда $x + y = 20$ и $10x + 5y = 140$. Вычтите из второго уравнения первое, умноженное на 5, и получите $5x = 40$, откуда $x = 8$ десятицентовиков и $y = 12$ пятицентовиков.

Что значит «в два раза больше четвертаков, чем десятицентовиков»?

Это означает, что количество четвертаков в два раза превышает количество десятицентовиков. Если у вас $d$ десятицентовиков, то четвертаков будет $2d$. Подставьте это значение в уравнение общей стоимости, чтобы решить уравнение с одной переменной $d$.

Что такое задача о наименьшем количестве монет?

Для заданной целевой суммы и набора монет нужно найти минимальное их количество, дающее эту сумму. В случае с долларами США жадная стратегия работает, но для нестандартных наборов она может ошибаться. Решатель использует динамическое программирование для всегда точного результата.

Почему в моей задаче нет решения в целых числах?

Алгебраически получается вещественное число, но монет не может быть «полторы». Если в ответе дробь, значит, условия задачи (суммы или количества) невозможны при данных номиналах. Попробуйте скорректировать общую стоимость или выбрать другие монеты.

Поддерживает ли решатель фунты и евро?

Да. Выберите GBP для британских монет (от 1p до £2) или EUR для евро (от 1¢ до €2). Решатель нативно работает с каждой валютой, а также позволяет вводить свои номиналы.

Можно ли использовать это для задач с кассовыми аппаратами?

Да — сценарий «Наименьшее количество монет» в точности повторяет задачу о выдаче сдачи. Введите сумму сдачи как цель, и решатель найдет оптимальный способ ее собрать.