Калькулятор нормального распределения

Калькулятор нормального распределения вычисляет вероятности для нормального (Гауссова) распределения — самого важного непрерывного распределения вероятностей в статистике. Введите среднее значение (μ) и стандартное отклонение (σ), чтобы найти вероятность того, что случайная величина окажется ниже значения, выше значения, между двумя значениями, или чтобы найти конкретный квантиль. Результаты включают интерактивную визуализацию колоколообразной кривой с заштрихованной областью вероятности, преобразование в z-оценку и пошаговый разбор вычислений.

Что такое нормальное распределение?

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса или колоколообразной кривой, представляет собой симметричное непрерывное распределение вероятностей, сосредоточенное вокруг своего среднего значения (μ). Оно полностью описывается двумя параметрами:

• Среднее значение (μ) — центр распределения, где находится пик колоколообразной кривой.
• Стандартное отклонение (σ) — управляет разбросом; большее значение σ создает более широкую и плоскую кривую.

Многие природные явления — рост, результаты тестов, ошибки измерения, показатели IQ — примерно следуют нормальному распределению. Центральная предельная теорема гарантирует, что среднее значение достаточно большой выборки из любого распределения сходится к нормальному распределению, что делает его основой доказательной статистики.

Формула нормального распределения

Функция плотности вероятности (PDF) нормального распределения имеет вид:

Кумулятивная функция распределения (CDF) дает вероятность того, что X меньше или равно x:

Z-оценка преобразует любое значение нормального распределения в стандартное нормальное (среднее = 0, ст. откл. = 1):

Как пользоваться этим калькулятором

1. Выберите режим расчета: выберите «Левый хвост P(X ≤ x)», «Правый хвост P(X ≥ x)», «Между P(a ≤ X ≤ b)» или «Обратный» (поиск x по вероятности).
2. Введите параметры распределения: введите среднее значение (μ) и стандартное отклонение (σ). Для стандартного нормального распределения используйте μ = 0 и σ = 1.
3. Введите ваши конкретные значения: в зависимости от режима введите значение x, нижнюю/верхнюю границы или целевую вероятность.
4. Просмотрите результаты: нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть вероятность, z-оценку, интерактивную кривую с заштрихованной областью и пошаговый разбор.

Понимание PDF, CDF и обратной CDF

• PDF (Функция плотности вероятности): дает относительную правдоподобность конкретного значения. Она представляет собой высоту колоколообразной кривой в данной точке. Для непрерывных распределений сама PDF не является вероятностью — вероятности получаются путем интегрирования PDF на интервале.
• CDF (Кумулятивная функция распределения): дает P(X ≤ x), вероятность того, что переменная находится на уровне или ниже заданного значения. Графически это площадь под кривой слева от x. CDF варьируется от 0 до 1.
• Обратная CDF (Функция квантилей): обратная функция для CDF — при заданной вероятности p она находит значение x, такое что P(X ≤ x) = p. Например, обратная CDF при p = 0,975 для стандартного нормального распределения дает x ≈ 1,96.

Правило 68-95-99.7

Эмпирическое правило (также называемое правилом трех сигм) обеспечивает быструю оценку вероятности для любого нормального распределения:

Это означает, что примерно 68% значений попадают в пределы одного стандартного отклонения от среднего, 95% — в пределы двух и почти все (99,7%) — в пределы трех. Значения за пределами 3σ встречаются крайне редко при нормальном распределении.

Таблица справочных значений Z-оценок

Области применения нормального распределения

• Контроль качества: мониторинг производственных процессов с использованием контрольных карт и пределов спецификаций на основе μ ± nσ.
• Проверка гипотез: определение p-значений и критических значений для z-тестов и доверительных интервалов.
• Стандартизированное тестирование: тесты SAT, GRE и IQ разработаны так, чтобы следовать нормальному распределению, что позволяет сравнивать процентили.
• Естественные науки: ошибки измерений, биологические признаки (рост, вес) и многие физические величины распределены нормально.
• Финансы: модель Блэка-Шоулза и стоимость под риском (VaR) предполагают нормальное распределение доходности для оценки опционов и рисков.

Часто задаваемые вопросы

Что такое нормальное распределение?

Нормальное распределение (также называемое распределением Гаусса или колоколообразной кривой) — это симметричное непрерывное распределение вероятностей, определяемое его средним значением и стандартным отклонением. Это важнейшее распределение в статистике, поскольку многие природные явления приближенно следуют ему, а Центральная предельная теорема гарантирует, что выборочные средние сходятся к нему независимо от исходного распределения.

Что такое z-оценка и как она используется?

Z-оценка измеряет, на сколько стандартных отклонений значение удалено от среднего. Она рассчитывается по формуле z = (x − μ) / σ. Z-оценки позволяют сравнивать значения из разных нормальных распределений, преобразуя их в стандартное нормальное распределение (среднее = 0, стандартное отклонение = 1). Z-оценка 1,96 соответствует 97,5-му процентилю.

В чем разница между PDF и CDF?

PDF (функция плотности вероятности) дает относительную правдоподобность конкретного значения, представляя высоту колоколообразной кривой в этой точке. CDF (кумулятивная функция распределения) дает вероятность того, что случайная величина меньше или равна определенному значению, представляя площадь под кривой слева от этой точки. CDF всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

Что такое правило 68-95-99.7?

Правило 68-95-99.7 (также называемое эмпирическим правилом или правилом трех сигм) гласит, что для нормального распределения примерно 68,27% значений попадают в пределы одного стандартного отклонения от среднего, 95,45% — в пределы двух стандартных отклонений и 99,73% — в пределы трех стандартных отклонений. Это правило помогает быстро оценивать вероятности без подробных вычислений.

Как найти вероятность между двумя значениями?

Чтобы найти вероятность между двумя значениями a и b в нормальном распределении, вычислите P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a). Сначала преобразуйте оба значения в z-оценки с помощью z = (x − среднее) / стандартное отклонение, затем найдите или вычислите CDF для каждой z-оценки и вычтите их. Этот калькулятор автоматизирует этот процесс в режиме «Между».