Что такое тригонометрические тождества?

Тригонометрические тождества — это равенства, содержащие тригонометрические функции, которые верны для всех значений входящих в них переменных. Самым фундаментальным является пифагорово тождество: sin2(x) + cos2(x) = 1. Другие важные тождества включают формулы двойного угла, половинного угла, формулы суммы и разности, а также тождества взаимно обратных функций.

Как найти все тригонометрические значения по одному известному значению?

Чтобы найти все шесть тригонометрических значений по одному известному: 1) Используйте пифагорово тождество sin2(x) + cos2(x) = 1, чтобы найти sin или cos. 2) Определите правильный знак в зависимости от четверти, используя правило ASTC. 3) Вычислите tan = sin/cos, csc = 1/sin, sec = 1/cos и cot = 1/tan.

Что такое правило ASTC для четвертей?

ASTC — это аббревиатура от All-Sin-Tan-Cos, мнемоническое правило для запоминания того, какие тригонометрические функции положительны в каждой четверти. В I четверти положительны все (All) функции. Во II четверти положителен только синус (Sin, и csc). В III четверти положителен только тангенс (Tan, и cot). В IV четверти положителен только косинус (Cos, и sec).

Калькулятор тригонометрических тождеств

Рассчитайте все значения тригонометрических функций, используя пифагоровы тождества, формулы двойного и половинного угла. Введите любое известное тригонометрическое значение и четверть, чтобы найти sin, cos, tan, csc, sec, cot с пошаговыми решениями.

Быстрые примеры

30° sin=0.5, Q1 45° cos, Q1 60° sin, Q1 225° tan=1, Q3 120° cos, Q2 330° sin, Q4

Известная функция

Известное значение

Четверть

Q2Sin+

Q1Все+

Q3Tan+

Q4Cos+

Тип тождества

Точность

Embed Калькулятор тригонометрических тождеств Widget

О Калькулятор тригонометрических тождеств

Добро пожаловать в Калькулятор тригонометрических тождеств — комплексный инструмент для расчета всех значений тригонометрических функций с использованием фундаментальных тождеств. Если вы знаете одно тригонометрическое значение (например, $\sin(x)$ или $\cos(x)$) и четверть, в которой находится угол, этот калькулятор найдет все остальные значения и применит различные формулы тождеств с полными пошаговыми решениями.

Что делает этот калькулятор

При наличии известного значения тригонометрической функции и четверти, в которой находится угол, этот калькулятор:

Вычисляет все шесть основных тригонометрических функций: $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\csc(x)$, $\sec(x)$, $\cot(x)$
Применяет формулы двойного угла: Находит $\sin(2x)$, $\cos(2x)$ и $\tan(2x)$
Применяет формулы половинного угла: Находит $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$ и $\tan(x/2)$
Определяет точный угол: Как в градусах, так и в радианах
Проверяет тождества: Подтверждает пифагорово тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

Ключевые тригонометрические тождества

Пифагоровы тождества

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$
$$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$
$$1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$$

Формулы двойного угла

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$
$$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$$
$$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$

Формулы половинного угла

$$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$$
$$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$$
$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$$

Понимание четвертей (правило ASTC)

Знак каждой тригонометрической функции зависит от того, в какой четверти находится угол. Запомните мнемоническое правило "ASTC":

I четверть (от 0° до 90°): All (Все) функции положительны
II четверть (от 90° до 180°): Только Sin (синус и csc) положителен
III четверть (от 180° до 270°): Только Tan (тангенс и cot) положителен
IV четверть (от 270° до 360°): Только Cos (косинус и sec) положителен

Соотношения между функциями

$\\csc(x) = \frac{1}{\\sin(x)}$
$\\sec(x) = \frac{1}{\\cos(x)}$
$\\cot(x) = \frac{1}{\\tan(x)} = \frac{\\cos(x)}{\\sin(x)}$

Как пользоваться этим калькулятором

Выберите известную функцию: Выберите значение какой функции вам известно (sin, cos, tan, csc, sec или cot).
Введите известное значение: Введите числовое значение. Для sin и cos оно должно быть от -1 до 1. Для csc и sec абсолютное значение должно быть не менее 1.
Выберите четверть: Выберите четверть, в которой находится угол x. Это определит знаки других функций по правилу ASTC.
Выберите тип тождества: Выберите, какие тождества применять (только пифагоровы, двойного угла, половинного угла или все).
Установите точность: Выберите количество знаков после запятой (1-100).
Нажмите Рассчитать: Просмотрите полные результаты с пошаговыми решениями и визуализацией.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор тригонометрических тождеств" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-тригонометрических-тождеств/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 13 января 2026 г.

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.