Калькулятор распределения вероятностей

Добро пожаловать в калькулятор распределения вероятностей — комплексный статистический инструмент для вычисления вероятностей, накопленных вероятностей (CDF) и квантилей (обратных CDF) для различных распределений. Независимо от того, изучаете ли вы статистику, анализируете данные или работаете с профессиональными статистическими моделями, этот калькулятор предоставляет подробные пошаговые решения и интерактивные визуализации.

Поддерживаемые вероятностные распределения

Этот калькулятор поддерживает семь наиболее часто используемых распределений вероятностей:

Понимание функций PDF, CDF и квантилей

Функция плотности/массы вероятности (PDF/PMF)

PDF (для непрерывных распределений) или PMF (для дискретных) дает относительную вероятность принятия случайной величиной конкретного значения. Для непрерывных распределений значение PDF само по себе не является вероятностью, а плотностью — вероятность находится путем интегрирования PDF на интервале.

Кумулятивная функция распределения (CDF)

CDF, обозначаемая как F(x), дает вероятность того, что случайная величина X меньше или равна значению x. Записывается как P(X ≤ x). CDF всегда возрастает от 0 до 1 по мере увеличения x.

Квантильная функция (обратная CDF)

Квантильная функция (также называемая процентной функцией) находит такое значение x, при котором P(X ≤ x) = p. Она отвечает на вопрос: «Какое значение не превышает заданный процент (p×100%) распределения?» Это необходимо для поиска критических значений при проверке гипотез.

Формулы распределений

Нормальное распределение

Симметричное колоколообразное распределение, характеризующееся средним значением μ (центр) и стандартным отклонением σ (разброс).

• PDF: \( f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \)
• Квантиль: \( x = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \)

Биномиальное распределение

Моделирует количество успехов в n независимых испытаниях, каждое с вероятностью успеха p.

• PMF: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• CDF: \( F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \)

Распределение Пуассона

Моделирует количество событий в фиксированном интервале при постоянной средней интенсивности λ.

• PMF: \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!} \)

Экспоненциальное распределение

Моделирует время между событиями в процессе Пуассона с интенсивностью λ.

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) для x ≥ 0
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \)
• Квантиль: \( x = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \)

Распределение хи-квадрат

Возникает как сумма квадратов независимых стандартных нормальных величин. Используется в проверке гипотез и доверительных интервалах для дисперсии.

• PDF: \( f(x) = \frac{x^{k/2-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \) для x > 0

t-распределение Стьюдента

Похоже на нормальное, но с более «тяжелыми» хвостами. Используется для выводов о средних значениях совокупности при малом объеме выборки или неизвестной дисперсии.

• PDF: \( f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \)

Как пользоваться этим калькулятором

1. Выберите распределение: Нажмите на карточку распределения, которое соответствует вашей задаче. На каждой карточке указан тип (непрерывное или дискретное).
2. Выберите тип расчета: Выберите PDF/PMF для вероятности в точке, CDF для накопленной вероятности или Квантиль для нахождения значения по вероятности.
3. Введите параметры: Укажите параметры распределения. Форма динамически отображает только те поля, которые нужны для выбранного типа.
4. Введите значение или вероятность: Для PDF/CDF введите x (или k). Для квантиля введите вероятность от 0 до 1.
5. Изучите результаты: Ознакомьтесь с результатом, пошаговым выводом формул и интерактивным графиком.

Часто задаваемые вопросы

Что такое распределение вероятностей?

Это математическая функция, описывающая вероятность различных исходов. Оно бывает дискретным (счетное количество исходов) или непрерывным (любое значение в диапазоне).

В чем разница между PDF и CDF?

PDF дает плотность вероятности в конкретной точке (или точную вероятность в дискретном случае). CDF дает вероятность того, что значение будет меньше или равно заданному: P(X≤x).

Когда использовать нормальное распределение?

Оно идеально подходит для непрерывных данных, симметрично распределенных вокруг среднего, таких как рост, результаты тестов или ошибки измерений.

Что такое квантильная функция?

Она находит значение x, для которого вероятность P(X≤x) равна заданному уровню p. Например, 95-й процентиль показывает значение, ниже которого находится 95% данных.

Как выбрать нужное распределение?

Зависит от типа данных: нормальное для симметрии; биномиальное для счета успехов в попытках; Пуассона для редких событий; экспоненциальное для интервалов времени; равномерное для равных шансов; хи-квадрат для анализа дисперсии; t-распределение для малых выборок.

Дополнительные ресурсы

• Распределение вероятностей — Википедия
• Нормальное распределение — Википедия
• Статистика и вероятность — Академия Хана