Калькулятор частных производных

О Калькулятор частных производных

Добро пожаловать в наш Калькулятор частных производных — комплексный инструмент для вычисления частных производных функций нескольких переменных с подробными пошаговыми решениями. Независимо от того, являетесь ли вы студентом, изучающим многомерное дифференциальное исчисление, инженером, решающим задачи оптимизации, или ученым, работающим с уравнениями скорости, этот калькулятор обеспечит точные результаты с полными математическими объяснениями.

Что такое частная производная?

Частная производная измеряет, как изменяется функция нескольких переменных, когда меняется одна из ее входных переменных, в то время как все остальные переменные остаются постоянными. В отличие от обыкновенных производных, которые применяются к функциям одной переменной, частные производные являются основополагающими для многомерного исчисления и встречаются во всей науке, технике, экономике и машинном обучении.

Математическое определение

Для функции \( f(x, y) \) двух переменных частная производная по \( x \) определяется как:

При вычислении \( {\frac{\partial f}{\partial x}} \) мы рассматриваем \( y \) как константу и дифференцируем только по \( x \). Аналогично, \( {\frac{\partial f}{\partial y}} \) рассматривает \( x \) как константу.

Ключевые понятия

Как пользоваться этим калькулятором

1. Введите вашу функцию: Введите функцию нескольких переменных, используя стандартную нотацию. Примеры: x**2*y, sin(x*y), e**x * cos(y), x**3 + y**3 - 3*x*y.
2. Укажите переменные дифференцирования: Введите переменную(ые), по которой(ым) нужно дифференцировать:
   • x — первая производная по x
   • x:2 — вторая производная по x
   • x,y — смешанная частная производная (сначала x, затем y)
   • x:2,y:1 — вторая по x, первая по y
3. Нажмите Вычислить: Калькулятор вычислит частную производную с полным пошаговым решением, показывающим, какие правила дифференцирования были применены.

Поддерживаемые функции и синтаксис

Примененные правила дифференцирования

Этот калькулятор определяет и отображает, какие правила дифференцирования используются на каждом шаге:

• Степенное правило: \( {\frac{\partial}{\partial x}}(x^n) = nx^{n-1} \)
• Правило суммы: \( {\frac{\partial}{\partial x}}(f + g) = {\frac{\partial f}{\partial x}} + {\frac{\partial g}{\partial x}} \)
• Правило произведения: \( {\frac{\partial}{\partial x}}(fg) = f {\frac{\partial g}{\partial x}} + g {\frac{\partial f}{\partial x}} \)
• Правило частного: \( {\frac{\partial}{\partial x}}\left(\\{ \frac{f}{g} \\}\right) = \frac{g {\frac{\partial f}{\partial x}} - f {\frac{\partial g}{\partial x}}}{g^2} \)
• Правило цепочки: \( {\frac{\partial}{\partial x}}f(g(x,y)) = f'(g) \cdot {\frac{\partial g}{\partial x}} \)
• Правило умножения на константу: \( {\frac{\partial}{\partial x}}(cf) = c {\frac{\partial f}{\partial x}} \)

Применение частных производных

Градиент и оптимизация

Частные производные образуют вектор градиента, который необходим для поиска максимумов, минимумов и седловых точек функций нескольких переменных. Приравнивание всех частных производных к нулю позволяет найти критические точки.

Физика и инженерия

Частные производные описывают, как изменяются физические величины: температурные градиенты, электрический потенциал, гидродинамика и волновые уравнения — все это основано на частном дифференцировании.

Машинное обучение

Алгоритмы градиентного спуска используют частные производные для минимизации функций потерь. Каждый вес в нейронной сети обновляется с использованием частной производной потери по отношению к этому весу.

Экономика

Маржинальный анализ использует частные производные для измерения того, как изменяется выпуск по отношению к одному входу (труд, капитал), в то время как другие остаются фиксированными.

Часто задаваемые вопросы

Что такое частная производная?

Частная производная измеряет, как изменяется функция нескольких переменных, когда меняется одна переменная, в то время как все остальные переменные остаются постоянными. Для функции f(x,y) частная производная по x, обозначаемая как df/dx, рассматривает y как константу и дифференцирует только по x.

Как вычислить частную производную второго порядка?

Чтобы вычислить частную производную второго порядка, нужно дифференцировать дважды. Вы можете дифференцировать дважды по одной и той же переменной (например, d2f/dx2) или по разным переменным (смешанная частная производная, например, d2f/dxdy). Введите формат типа 'x:2' для второй производной по x или 'x,y' для смешанной производной.

В чем разница между частными и обыкновенными производными?

Обыкновенные производные применяются к функциям одной переменной, измеряя скорость изменения относительно этой одной переменной. Частные производные применяются к функциям нескольких переменных и измеряют скорость изменения относительно одной переменной, рассматривая все остальные переменные как константы.

Что такое смешанная частная производная?

Смешанная частная производная включает в себя дифференцирование по разным переменным последовательно. Например, d2f/dxdy означает сначала дифференцирование f по y, а затем дифференцирование результата по x. Согласно теореме Клеро, для большинства функций d2f/dxdy = d2f/dydx.

Как вводить функции в калькулятор?

Используйте стандартную математическую нотацию: x**2 или x^2 для степеней, sin(x), cos(x), tan(x) для тригонометрических функций, exp(x) или e**x для экспоненты, log(x) или ln(x) для натурального логарифма, sqrt(x) для квадратного корня. Умножение может быть неявным (xy) или явным (x*y).

Дополнительные ресурсы

• Частная производная — Википедия
• Введение в частные производные — Академия Хана

Другие сопутствующие инструменты:

Математический анализ:

• Калькулятор свертки
• Калькулятор производных
• Калькулятор Направленных Производных
• Калькулятор двойных интегралов
• Калькулятор неявной производной
• Калькулятор интегралов
• Калькулятор Обратного Преобразования Лапласа
• Калькулятор преобразования Лапласа
• Калькулятор пределов
• Калькулятор частных производных
• Калькулятор Производной Одной Переменной
• Калькулятор ряда Тейлора
• Калькулятор тройного интеграла