Калькулятор факторизации многочленов

Q: Что такое факторизация многочлена?

Факторизация многочлена — это процесс представления многочлена как произведения более простых многочленов. Например, x² - 4 может быть разложено как (x+2)(x-2). Факторизация выявляет корни многочлена и упрощает алгебраические выражения для удобства манипуляций в уравнениях.

Разлагайте многочлены на множители, используя различные методы, включая НОД, разность квадратов, полные квадраты трёхчленов, сумму/разность кубов и квадратные трёхчлены. Пошаговые решения, автоматическое распознавание шаблонов и проверка результатов.

Быстрые примеры - нажмите для загрузки

x² - 9 Разн кв x² + 6x + 9 Полн кв x³ + 27 Сум куб x³ - 8 Разн куб x² - 5x + 6 Квадр 6x² + 9x НОД (x + 3)² Раскр 2x² + 7x + 3 a≠1

Справочник по шаблонам - нажмите для развёртывания

$$a^2 - b^2$$

Раскладывается на

$$(a + b)(a - b)$$

Пример

$$x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$$ где a=x, b=4

$$a^2 + 2ab + b^2$$ или $$a^2 - 2ab + b^2$$

Раскладывается на

$$(a + b)^2$$ или $$(a - b)^2$$

Пример

$$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$$ где a=x, b=5, средний = 2(x)(5) = 10x ✓

$$a^3 + b^3$$ или $$a^3 - b^3$$

Метод SOAP

$$(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$$

Пример

$$x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$$
Одинаковый, Противоположный, Всегда положительный

$$ax^2 + bx + c$$

Найти множители ac, сумма которых равна b

$$(px + q)(rx + s)$$

Пример

$$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$$ потому что 2×3=6 и 2+3=5

Выражение многочлена

Используйте ^ для показателей степени (x^2), * или ничего для умножения (2x или 2*x)

Операция

Embed Калькулятор факторизации многочленов Widget

О Калькулятор факторизации многочленов

Добро пожаловать в наш Калькулятор факторизации многочленов, мощный образовательный инструмент, который помогает вам разлагать многочлены пошагово. Работаете ли вы с квадратными трёхчленами, разностью квадратов, полными квадратами трёхчленов или суммой и разностью кубов, этот калькулятор автоматически определяет шаблоны и предоставляет подробные объяснения, помогающие вам овладеть факторизацией многочленов.

Что такое факторизация многочлена?

Факторизация многочлена — это обратный процесс умножению многочленов. Она включает в себя выражение многочлена как произведения более простых многочленов, называемых множителями. Так же, как мы раскладываем числа (12 = 2 × 2 × 3), мы можем разложить многочлены на произведения выражений меньшей степени.

Факторизация необходима, потому что она:

Выявляет корни: Когда многочлен разложен, приравнивание каждого множителя к нулю даёт корни
Упрощает выражения: Разложенные формы часто удобнее использовать в расчётах
Решает уравнения: Многие полиномиальные уравнения можно решить только после факторизации
Помогает в построении графиков: Разложенная форма сразу показывает пересечения графика с осью x

Основные методы факторизации

🔢

Наибольший общий делитель (НОД)

ab + ac = a(b + c)

Пример: 6x² + 9x = 3x(2x + 3)

➖

Разность квадратов

a² - b² = (a+b)(a-b)

Пример: x² - 16 = (x+4)(x-4)

⬛

Полный квадрат трёхчлена

a² ± 2ab + b² = (a±b)²

Пример: x² + 6x + 9 = (x+3)²

🧊

Сумма/разность кубов

a³ ± b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)

Пример: x³ + 8 = (x+2)(x²-2x+4)

Как использовать этот калькулятор

Введите ваш многочлен: Введите выражение, используя стандартную нотацию. Используйте ^ для показателей степени (например, x^2 для x²).
Выберите операцию:
- Полная факторизация - разложение на неприводимые множители
- Раскрыть скобки - перемножить все множители
- Вынести НОД - найти и вынести наибольший общий делитель
- Определить шаблоны - распознать специальные шаблоны факторизации
Нажмите "Рассчитать": получите пошаговое решение с распознаванием шаблонов.
Учитесь на примерах: каждый шаг объясняет математическое обоснование.

Примеры формата ввода

x^2 - 4 для x² - 4
2x^2 + 5x - 3 для 2x² + 5x - 3
(x+2)^2 для (x+2)²
x^3 + 8 для x³ + 8
Умножение: 2*x или просто 2x

Стратегия факторизации: пошагово

💡 Профессиональный совет: всегда начинайте с НОД

Перед применением любого другого метода факторизации всегда проверяйте и вынесите наибольший общий делитель. Это упрощает многочлен и облегчает последующие шаги.

Шаг 1 - проверка НОД: найдите наибольший множитель, общий для всех слагаемых, и вынесите его.
Шаг 2 - подсчёт слагаемых:
- 2 слагаемых (двучлен): проверьте разность квадратов или сумму/разность кубов
- 3 слагаемых (трёхчлен): проверьте полный квадрат трёхчлена, затем попробуйте квадратную факторизацию
- 4+ слагаемых: попробуйте разложение группировкой
Шаг 3 - применить шаблон: используйте соответствующую формулу на основе выявленного шаблона.
Шаг 4 - дальнейшая факторизация: проверьте, можно ли разложить какие-либо полученные множители дальше.
Шаг 5 - проверка: перемножьте множители, чтобы подтвердить, что они равны исходному многочлену.

Специальные формулы факторизации

Разность квадратов

Формула разности квадратов

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

Этот шаблон применяется, когда оба слагаемых являются полными квадратами и соединены вычитанием. Примечание: сумма квадратов (a² + b²) не может быть разложена над действительными числами.

Полные квадраты трёхчленов

Формулы полного квадрата трёхчлена

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$ $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$

Для определения: проверьте, являются ли первый и последний члены полными квадратами, и равен ли средний член удвоенному произведению их квадратных корней.

Сумма и разность кубов

Сумма кубов

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

Разность кубов

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

Мнемоника: SOAP - Same (одинаковый), Opposite (противоположный), Always Positive (всегда положительный) для трёхчленного множителя.

Квадратные трёхчлены (ax² + bx + c)

Для трёхчленов, где a = 1: найдите два числа, которые перемножаются в c и складываются в b.

Для трёхчленов, где a ≠ 1: используйте метод AC - найдите два числа, которые перемножаются в ac и складываются в b, затем разложите группировкой.

Типичные ошибки, которых следует избегать

Забывание о НОД: всегда вынесите общие множители в первую очередь!
Неполная факторизация: продолжайте разложение до тех пор, пока все множители не будут простыми/неприводимыми.
Ошибки знаков: уделяйте внимание знакам, особенно в полных квадратах трёхчленов.
Путаница сумма/разность: помните, что a² + b² НЕ разлагается (над действительными числами), а a² - b² разлагается.
Отсутствие проверки: всегда перемножьте множители, чтобы проверить результат.

Применение факторизации многочленов

Решение уравнений: приравняйте каждый множитель к нулю, чтобы найти решения
Упрощение дробей: сократите общие множители в алгебраических дробях
Построение графиков: определите пересечения с осью x и поведение функций многочленов
Математический анализ: интегрирование методом частичных дробей требует разложенных знаменателей
Физика и инженерия: решение уравнений движения, анализ схем и обработка сигналов

Часто задаваемые вопросы

Что такое факторизация многочлена?

Факторизация многочлена — это процесс выражения многочлена как произведения более простых многочленов. Например, x² - 4 может быть разложено как (x+2)(x-2). Факторизация выявляет корни многочлена и упрощает алгебраические выражения для удобства манипуляций в уравнениях.

Что такое формула разности квадратов?

Формула разности квадратов гласит, что a² - b² = (a+b)(a-b). Этот шаблон применяется, когда у вас есть два полных квадрата, разделённые вычитанием. Например, x² - 9 = (x+3)(x-3) и 4x² - 25 = (2x+5)(2x-5).

Как разложить полный квадрат трёхчлена?

Полный квадрат трёхчлена следует шаблону a² + 2ab + b² = (a+b)² или a² - 2ab + b² = (a-b)². Проверьте, являются ли первый и последний члены полными квадратами, и равен ли средний член удвоенному произведению их квадратных корней. Например, x² + 6x + 9 = (x+3)².

Что такое формула суммы и разности кубов?

Сумма кубов: a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²). Разность кубов: a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²). Помните 'SOAP': Same (одинаковый), Opposite (противоположный), Always Positive (всегда положительный) для трёхчленного множителя.

Почему я всегда должен искать НОД в первую очередь при факторизации?

Вынесение наибольшего общего делителя (НОД) в первую очередь упрощает оставшийся многочлен, облегчая последующие шаги факторизации. Это снижает размеры коэффициентов и может выявить скрытые шаблоны. Всегда вынесите НОД перед применением других методов факторизации.

Как проверить, правильна ли моя факторизация?

Чтобы проверить вашу факторизацию, раскройте скобки (перемножьте) разложенную форму, используя метод FOIL или распределительный закон. Если вы получите исходный многочлен, ваша факторизация верна. Этот калькулятор автоматически проверяет результаты факторизации.

Дополнительные ресурсы

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор факторизации многочленов" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-факторизации-многочленов/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 18 января 2026 г.

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.