Калькулятор свертки

О Калькулятор свертки

Добро пожаловать в Калькулятор свертки — комплексный бесплатный онлайн-инструмент для вычисления дискретной и непрерывной свертки с подробными пошаговыми решениями и интерактивной визуализацией. Независимо от того, являетесь ли вы студентом, изучающим обработку сигналов, инженером, анализирующим линейные системы, или исследователем, работающим с математическими операциями, этот калькулятор предоставит вам все необходимое для точного понимания и расчета сверток.

Что такое свертка?

Свертка — это фундаментальная математическая операция, которая объединяет две функции (или сигнала) для получения третьей функции. Она описывает, как форма одной функции изменяется другой. Свертка обозначается символом звездочки (*) и имеет важное значение в обработке сигналов, обработке изображений, теории вероятностей и многих инженерных приложениях.

В обработке сигналов свертка определяет выход линейной стационарной (LTI) системы при заданном входном сигнале и импульсной характеристике системы. Это делает ее одной из наиболее важных операций для понимания того, как системы преобразуют сигналы.

Дискретная свертка

Для дискретных сигналов свертка последовательностей x[n] и h[n] определяется как:

Для последовательностей конечной длины N и M результат имеет длину N + M - 1.

Круговая свертка

Круговая (или циклическая) свертка используется, когда сигналы периодичны или при работе с дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Для N-точечной круговой свертки:

Операция взятия по модулю приводит к зацикливанию индексов, что делает круговую свертку подходящей для анализа периодических сигналов.

Непрерывная свертка

Для непрерывных функций интеграл свертки определяется как:

Для каузальных сигналов (сигналов, равных нулю при t меньше 0), пределы становятся от 0 до t.

Особенности этого калькулятора свертки

• Несколько типов свертки: Поддержка дискретной линейной свертки, дискретной круговой свертки и непрерывной свертки (в интегральной форме).
• Пошаговые решения: Подробный математический разбор, показывающий каждый этап процесса свертки, что помогает понять расчеты.
• Интерактивная визуализация: Генерация графиков Chart.js, показывающих входные сигналы и результат свертки для наглядного понимания.
• Гибкие форматы ввода: Вводите последовательности с квадратными скобками или без них (1, 2, 3 или [1, 2, 3]), а также функции, используя стандартную математическую нотацию.
• Быстрые примеры: Кнопки с предустановленными примерами позволяют мгновенно изучить различные сценарии свертки.
• Рендеринг MathJax: Красивые математические формулы, отображаемые с профессиональной версткой.

Как пользоваться этим калькулятором

1. Выберите тип свертки: Выберите Дискретную линейную свертку (для стандартной обработки сигналов), Дискретную круговую свертку (для приложений ДПФ) или Непрерывную свертку (для математических функций).
2. Введите входные сигналы или функции: Для дискретной свертки введите значения через запятую (например, 1, 2, 3, 4). Для непрерывной свертки введите математические выражения (например, t, sin(t), exp(-t)).
3. Используйте примеры: Нажмите на кнопки примеров, чтобы быстро загрузить распространенные сценарии свертки и увидеть, как разные входные данные дают разные результаты.
4. Рассчитайте и проанализируйте: Нажмите «Рассчитать свертку», чтобы увидеть результат с полными пошаговыми решениями, таблицами расчетов и интерактивной визуализацией.

Свойства свертки

Свертка обладает несколькими важными математическими свойствами, которые полезны при обработке и анализе сигналов:

Применение свертки

Обработка сигналов

Свертка является основой фильтрации сигналов. Когда вы выполняете свертку входного сигнала с импульсной характеристикой фильтра, вы получаете отфильтрованный выход. Именно так фильтры нижних, верхних и полосовых частот обрабатывают сигналы.

Обработка изображений

В обработке изображений 2D-свертка используется для таких операций, как размытие, повышение резкости, обнаружение краев и тиснение. Сверточные ядра (небольшие матрицы) скользят по изображениям для создания различных эффектов.

Обработка звука

Сверточная реверберация имитирует акустические пространства путем свертки «сухого» звука с импульсной характеристикой комнаты или зала. Это создает реалистичные эффекты реверберации, улавливающие уникальные характеристики физических пространств.

Нейронные сети

Сверточные нейронные сети (CNN) используют свертку в качестве основной операции. Обучаемые ядра свертки извлекают признаки из изображений, что делает CNN чрезвычайно эффективными для распознавания образов и задач компьютерного зрения.

Системный анализ

Для любой линейной стационарной (LTI) системы выход y(t) равен свертке входа x(t) с импульсной характеристикой системы h(t). Эта взаимосвязь является фундаментальной для анализа систем управления и систем связи.

Теория вероятностей

Функция плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин равна свертке их индивидуальных функций плотности. Это широко используется в статистике и стохастических процессах.

Линейная и круговая свертка

Понимание разницы между линейной и круговой сверткой имеет решающее значение для правильной обработки сигналов:

Линейная свертка

• Длина результата: N + M - 1 для входов длиной N и M.
• Отсутствие зацикливания — индексы выходят за пределы исходной длины сигнала.
• Используется для общей обработки сигналов и фильтрации.
• Представляет фактическую физическую свертку конечных сигналов.

Круговая свертка

• Длина результата: max(N, M) после дополнения нулями до равной длины.
• Использует арифметику по модулю для зацикливания.
• Необходима при использовании ДПФ для эффективных вычислений.
• Линейная свертка может быть получена из круговой путем дополнения нулями до длины N + M - 1.

Руководство по формату ввода

Дискретные последовательности

Введите значения сигналов через запятую. Скобки необязательны:

• 1, 2, 3, 4 — Простые значения через запятую
• [1, 2, 3, 4] — С квадратными скобками
• 0.5, 1.5, 2.5 — Поддерживаются десятичные значения
• -1, 0, 1, 0, -1 — Поддерживаются отрицательные значения

Непрерывные функции

Введите математические выражения, используя стандартную нотацию:

• t — Линейная функция
• t**2 или t^2 — Полином (используйте ** для степени)
• sin(t), cos(t), tan(t) — Тригонометрические функции
• exp(t), exp(-t) — Экспоненциальные функции
• log(t) — Натуральный логарифм
• 2*t + 3 — Комбинации с константами

Примеры распространенных сверток

Фильтр скользящего среднего

3-точечный фильтр скользящего среднего сглаживает данные: h[n] = [1/3, 1/3, 1/3]. Свертка с этим фильтром усредняет каждую точку с ее соседями.

Обнаружение краев

Разностное ядро h[n] = [1, -1] обнаруживает переходы. Свертка с ним находит места, где значения сигнала резко меняются.

Гауссово сглаживание

Гауссовы ядра, такие как [0.25, 0.5, 0.25], обеспечивают плавное колоколообразное усреднение, которое уменьшает шум, сохраняя структуру сигнала.

Дифференцирование

Ядро [1, -2, 1] аппроксимирует вторую производную, что полезно для обнаружения пиков и кривизны в сигналах.

Часто задаваемые вопросы

Что такое свертка в обработке сигналов?

Свертка — это математическая операция, которая объединяет два сигнала для получения третьего сигнала. Она описывает, как форма одного сигнала изменяется другим. В обработке сигналов свертка используется для определения выхода линейной стационарной (LTI) системы при заданном входном сигнале и импульсной характеристике системы.

В чем разница между линейной и круговой сверткой?

Линейная свертка дает результат длиной N+M-1, где N и M — длины входных сигналов. Она используется для непериодических сигналов. Круговая свертка предполагает, что сигналы периодичны, и выдает результат той же длины, что и входные сигналы. Индексы зацикливаются с использованием арифметики по модулю, что делает ее подходящей для вычислений на основе ДПФ.

Как пользоваться калькулятором дискретной свертки?

Введите значения сигнала в виде чисел, разделенных запятыми (например, 1, 2, 3). Вы можете по желанию использовать квадратные скобки [1, 2, 3]. Выберите тип свертки (Линейная или Круговая), затем нажмите «Рассчитать». Калькулятор покажет результат с пошаговыми расчетами и визуализацией.

Какие функции поддерживаются для непрерывной свертки?

Калькулятор непрерывной свертки поддерживает полиномиальные функции (t, t**2, t**3), экспоненциальные функции (exp(t), exp(-t)), тригонометрические функции (sin(t), cos(t), tan(t)), логарифмические функции (log(t)) и их комбинации. Используйте ** для возведения в степень и стандартную математическую нотацию.

Каковы основные области применения свертки?

Свертка используется при фильтрации сигналов (фильтры НЧ, ВЧ, полосовые), обработке изображений (размытие, выделение границ), обработке звука (реверберация), системном анализе, нейронных сетях и теории вероятностей.

Почему в результате свертки больше элементов, чем во входных данных?

Для линейной свертки, если вход x имеет N элементов, а h имеет M элементов, выход имеет N + M - 1 элементов. Это связано с тем, что свертка «продвигает» один сигнал вдоль другого, и частичные перекрытия в начале и конце увеличивают общую длину выхода.

Как свертка связана с преобразованием Фурье?

Согласно теореме о свертке, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области. Это свойство позволяет эффективно вычислять свертку с помощью БПФ: преобразовать оба сигнала, перемножить и выполнить обратное преобразование. Это снижает сложность с O(N*M) до O(N log N).

Дополнительные ресурсы

Узнайте больше о свертке и обработке сигналов:

• Свертка — Википедия
• Интегралы свертки — Khan Academy (англ.)
• Stack Exchange по обработке сигналов (англ.)

Другие сопутствующие инструменты:

Математический анализ:

• Калькулятор свертки
• Калькулятор производных
• Калькулятор Направленных Производных
• Калькулятор двойных интегралов
• Калькулятор неявной производной
• Калькулятор интегралов
• Калькулятор Обратного Преобразования Лапласа
• Калькулятор преобразования Лапласа
• Калькулятор пределов
• Калькулятор частных производных
• Калькулятор Производной Одной Переменной
• Калькулятор ряда Тейлора
• Калькулятор тройного интеграла