Калькулятор Определителя

О Калькулятор Определителя

Добро пожаловать в Калькулятор определителей - профессиональный инструмент для вычисления определителей матриц с комплексными пошаговыми решениями. Изучаете ли вы линейную алгебру, решаете системы уравнений или анализируете свойства матриц, этот калькулятор предоставляет детальные разложения разложения кофакторов и понимание матриц.

Что такое определитель?

Определитель — это скалярное значение, вычисленное из элементов квадратной матрицы. Он кодирует фундаментальную информацию о матрице и линейном преобразовании, которое она представляет. Определитель имеет глубокое геометрическое и алгебраическое значение в математике.

Формула определителя 2x2

Для матрицы 2x2 определитель вычисляется напрямую:

Формула определителя 3x3

Для матрицы 3x3 используйте разложение кофактора вдоль любой строки или столбца:

Где каждый кофактор $C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ и $M_{ij}$ является минором (определитель подматрицы с удаленной строкой i и столбцом j).

Как использовать этот калькулятор

1. Выберите размер матрицы: Выберите от 2x2 до 6x6, используя кнопки размера, или введите любую квадратную матрицу в текстовое поле.
2. Введите значения: Заполните интерактивную сетку или введите значения непосредственно. Используйте пробелы или запятые для разделения элементов, новые строки для строк.
3. Вычислить: Нажмите кнопку Вычислить, чтобы вычислить определитель.
4. Проверьте решение: Изучите пошаговое разложение кофактора, показывающее все промежуточные вычисления.
5. Проверьте свойства: Просмотрите панель свойств матрицы, чтобы понять обратимость и другие характеристики.

Применение определителей

Понимание свойств матриц

Сингулярные и обратимые матрицы

• Обратимая (det ≠ 0): Матрица имеет единственную обратную матрицу, строки/столбцы линейно независимы, и системы Ax = b имеют единственное решение.
• Сингулярная (det = 0): Матрица не имеет обратной матрицы, строки/столбцы линейно зависимы, и системы могут не иметь решения или иметь бесконечно много.

Связь между следом и определителем

След (сумма диагональных элементов) и определитель связаны через собственные значения. Для матрицы с собственными значениями λ₁, λ₂, ..., λₙ:

• След = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ
• Определитель = λ₁ × λ₂ × ... × λₙ

Часто задаваемые вопросы

Что такое определитель матрицы?

Определитель — это скалярное значение, вычисленное из квадратной матрицы, которое кодирует важные свойства. Он указывает, является ли матрица обратимой (ненулевой определитель), представляет коэффициент масштабирования линейных преобразований и равен знаковому объему параллелепипеда, образованного векторами строк/столбцов.

Как вычислить определитель 2x2?

Для матрицы 2x2 [[a,b],[c,d]] определитель вычисляется как det = ad - bc. Умножьте элементы главной диагонали (a×d), вычтите произведение элементов антидиагонали (b×c).

Как вычислить определитель 3x3?

Для матрицы 3x3 используйте разложение кофактора вдоль любой строки или столбца. Разложите вдоль первой строки: det(A) = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃, где каждый кофактор Cᵢⱼ в (-1)^(i+j) раз больше определителя матрицы миноров 2x2.

Что означает нулевой определитель?

Нулевой определитель указывает на то, что матрица сингулярна (необратима). Это означает, что строки/столбцы линейно зависимы, матрица отображает некоторый ненулевой вектор в нуль, а система уравнений Ax=b либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.

Можно ли вычислить определитель неквадратной матрицы?

Нет, определители определены только для квадратных матриц (одинаковое количество строк и столбцов). Для неквадратных матриц можно вычислять связанные концепции, такие как псевдо-определители или сингулярные значения, но классический определитель не существует.

Что такое разложение кофактора?

Разложение кофактора (разложение Лапласа) вычисляет определитель путем разложения вдоль любой строки или столбца. Для каждого элемента aᵢⱼ умножьте его на его кофактор Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ, где Mᵢⱼ — минор (определитель подматрицы с удаленной строкой i и столбцом j). Суммируйте все произведения, чтобы получить определитель.

Дополнительные ресурсы

• Определитель - Википедия
• Определители - Khan Academy

Другие сопутствующие инструменты:

Линейная алгебра:

• Калькулятор Определителя
• Калькулятор собственных значений и собственных векторов
• Калькулятор Матриц
• Калькулятор разложения на простые дроби
• Векторный калькулятор