С 2010 года · Более 2 млн запусков инструментов в месяц
С 2010 года
Добавить в Chrome

Моя Панель Инструментов

Автоматический Режим

Сохранённых инструментов пока нет.

Премиум-версия
Похожие инструменты
Калькулятор поверхности вращенияКалькулятор объема и населения аквариумаКалькулятор Несобственного ИнтегралаКалькулятор заполнения комнаты попкорномКалькулятор момента инерции
Домашняя страница > Математика > Математический анализ

Калькулятор объёма тела вращения

Вычислите объём тела вращения, используя методы дисков, шайб и цилиндрических оболочек. Введите функцию, пределы интегрирования и ось вращения, чтобы получить пошаговое решение с интерактивной 3D-визуализацией.

БесплатноБез регистрацииМгновенный результат
Калькулятор объёма тела вращенияПопробуйте — бесплатно ▼
Попробуйте:
ПРЕДПРОСМОТР КРИВОЙ
📐 Функции
Поддерживаются: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
Вращается область между f(x) и g(x)
📏 Границы интегрирования
🔄 Ось вращения
y = k (диск/шайба) или x = k (оболочка)

Embed Калькулятор объёма тела вращения Widget

О Калькулятор объёма тела вращения

Калькулятор объёма тела вращения вычисляет объём трехмерного твердого тела, образованного вращением двухмерной области вокруг оси. Это одно из самых важных применений интегрального исчисления, широко используемое в технике, физике и производстве для определения объёмов объектов с осевой симметрией — от цилиндров двигателя до спутниковых тарелок.

Три метода расчета

⊚
Метод дисков
Складывает бесконечно тонкие круговые диски перпендикулярно оси. Лучше всего подходит для одиночных кривых, вращаемых вокруг оси x: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)
◎
Метод шайб
Похож на метод дисков, но с отверстием. Для областей между двумя кривыми: \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)
◌
Метод оболочек
Оборачивает цилиндрические оболочки вокруг оси. Идеально подходит для вращения вокруг оси y: \( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \)

Как использовать Калькулятор объёма тела вращения

  1. Выберите метод — выберите «Диск», «Шайба» или «Оболочка» в зависимости от вашей задачи.
  2. Введите функцию(и) — введите вашу функцию f(x), используя стандартную математическую нотацию (например, x^2, sqrt(x), sin(x)). Для метода шайб также введите внутреннюю функцию g(x).
  3. Установите границы — введите нижнюю (a) и верхнюю (b) границы интегрирования.
  4. Выберите ось вращения — выберите ось x, ось y или введите значение для пользовательской оси.
  5. Нажмите «Рассчитать объём» — просмотрите результат с пошаговыми формулами MathJax, интерактивной 3D-визуализацией и сравнением всех трех методов.

Когда использовать каждый метод

СценарийЛучший методПочему
Одиночная кривая вращается вокруг оси xДискСамая простая настройка — нужна только f(x)
Область между двумя кривыми вращается вокруг оси xШайбаЕстественным образом обрабатывает внешний и внутренний радиусы
Кривая вращается вокруг оси yОболочкаПозволяет избежать инвертирования f(x) для выражения x как функции от y
Функцию трудно инвертироватьОболочкаНет необходимости выражать x через y
Ось вращения горизонтальнаДиск/ШайбаДиски перпендикулярны горизонтальной оси
Ось вращения вертикальнаОболочкаОболочки естественным образом оборачиваются вокруг вертикальной оси

Распространенные примеры

ФормаФункцияГраницыОбъём
Конусf(x) = x[0, r]\( \frac{1}{3}\pi r^3 \)
Сфераf(x) = √(r² − x²)[−r, r]\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)
Параболоидf(x) = √x[0, h]\( \frac{1}{2}\pi h^2 \)
Тор (кольцо)Шайба со смещенной осьюКруг\( 2\pi^2 R r^2 \)

Поддерживаемые функции

Этот калькулятор принимает широкий спектр математических выражений:

Часто задаваемые вопросы

Что такое объём тела вращения?

Объём тела вращения — это объём трехмерного объекта, созданного путем вращения двухмерной кривой или области вокруг оси. Он рассчитывается с помощью интегрального исчисления методами дисков, шайб или оболочек. Распространенные примеры из реального мира включают бутылки, чаши, вазы и поршни двигателей.

Когда следует использовать метод дисков, а когда метод оболочек?

Используйте метод дисков, когда ось вращения перпендикулярна переменной интегрирования (обычно вращение вокруг оси x с функциями от x). Используйте метод оболочек, когда ось вращения параллельна переменной интегрирования (обычно вращение вокруг оси y с функциями от x). Метод оболочек часто проще, когда функцию трудно инвертировать.

Что такое метод шайб?

Метод шайб является расширением метода дисков для областей, ограниченных двумя кривыми. Он вычитает объём внутреннего тела из внешнего тела по формуле \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \), где R(x) — внешний радиус, а r(x) — внутренний радиус.

Как выбрать ось вращения?

Наиболее распространенными осями являются ось x (y = 0) и ось y (x = 0). Вы также можете вращать область вокруг любой горизонтальной линии y = k или вертикальной линии x = k. Выбор оси влияет на то, какой метод будет наиболее удобным, и меняет выражения радиуса в интеграле.

Какие функции поддерживает этот калькулятор?

Этот калькулятор поддерживает многочлены (x^2, x^3), тригонометрические функции (sin, cos, tan), экспоненциальные и логарифмические функции (exp, ln, log), квадратный корень (sqrt) и комбинации со стандартными арифметическими операторами. Используйте x в качестве переменной.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор объёма тела вращения" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-объёма-тела-вращения/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой MiniWebtool. Обновлено: 2026-04-04

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.

Математический анализ:

Популярные и обновлённые инструменты:

Калькулятор объемаКалькулятор объема конуса (высокая точность)Калькулятор объема куба высокая точностьСмотреть все →
Домашняя страница > Математика > Математический анализ > Калькулятор объёма тела вращения