Калькулятор Z-преобразования

Вычислите одностороннее Z-преобразование и причинное обратное Z-преобразование. Введите формулу последовательности, список отсчетов или X(z), чтобы получить преобразование, ROC, полюса и нули, таблицу и анализ z-плоскости.

БесплатноБез регистрацииМгновенный результат

Калькулятор Z-преобразованияПопробуйте — бесплатно ▼

x[0]

q²

X(z)

Отсчеты последовательности становятся степенями $z^{-1}$. Используйте обозначение q, прямое $z^{-1}$ или обычные дроби в z-области. Калькулятор сообщает каузальную ROC и строит картину полюсов и нулей.

Быстрые примеры

Σ Прямое Z-преобразование Последовательность x[n] → X(z) ↺ Обратное Z-преобразование Рациональное X(z) → отсчеты

Последовательность или преобразование

Примеры для прямого: 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) или 1, 2, 3.

Отсчеты

Отображаемые члены x[n].

Используйте q как сокращение для z^-1. Все обратные результаты являются каузальными односторонними разложениями.

Embed Калькулятор Z-преобразования Widget

О Калькулятор Z-преобразования

Калькулятор Z-преобразования преобразует дискретные временные последовательности в $X(z)$ и разлагает рациональные преобразования обратно в каузальные отсчеты. Он предназначен для цифровой обработки сигналов, систем управления, рекуррентных соотношений, разностных уравнений и анализа фильтров, где картина полюсов и нулей и область сходимости так же важны, как и алгебраическая формула.

Формула Z-преобразования

$$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$$

Этот инструмент по умолчанию использует одностороннее соглашение. Для обратных преобразований он переписывает входные данные как рациональную функцию от $q=z^{-1}$, разлагает $X(q)=N(q)/D(q)$ и считывает коэффициент при $q^n$ как $x[n]$.

Поддерживаемые входные данные

Прямой режим: списки конечных отсчетов, такие как 1, 2, 3, константы, a^n, n*a^n, n^2*a^n, синусоиды, такие как cos(pi/4*n), затухающие синусоиды, u[n] и delta[n-k].

Обратный режим: рациональные выражения от $z$, $z^{-1}$ или $q$. Примеры включают 1/(1 - 0.5*z^-1), z/(z - 0.8) и (1 + 2*q)/(1 - 0.75*q + 0.125*q^2).

Визуальный вывод: график на z-плоскости отмечает нули символом ○, полюса символом ×, а единичную окружность — пунктирной кривой, чтобы было легче проверить стабильность и частотные характеристики.

Как пользоваться

Выберите направление преобразования. Выберите прямое Z-преобразование для последовательности x[n] или обратное Z-преобразование для рационального X(z).
Введите последовательность или преобразование. Для прямых преобразований введите формулу, такую как 0.5^n, n*0.8^n, cos(pi/4*n) или список конечных отсчетов. Для обратных преобразований введите рациональное выражение, такое как 1/(1 - 0.5*z^-1).
Установите количество отсчетов. Выберите, сколько отсчетов x[n] отображать в таблице и на гистограмме.
Нажмите Вычислить. Калькулятор вернет выражение Z-преобразования, каузальную область сходимости (ROC), полюса, нули, первые отсчеты и примечания к вычислениям.
Изучите z-плоскость. Используйте диаграмму z-плоскости для проверки расположения полюсов, нулей и привязки к единичной окружности.

Общие пары Z-преобразования

Последовательность	Z-преобразование	Каузальная ROC
$a^n u[n]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$\|z\|>\|a\|$
$n a^n u[n]$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$\|z\|>\|a\|$
$\cos(\omega n)u[n]$	$\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$
$\sin(\omega n)u[n]$	$\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}$	$\|z\|>1$

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое Z-преобразование?

Z-преобразование преобразует дискретную временную последовательность x[n] в функцию комплексной области X(z) = Σ x[n]z^-n. Оно является дискретным аналогом преобразования Лапласа и широко используется в цифровых фильтрах, анализе сигналов, системах управления и рекуррентных соотношениях.

Что такое область сходимости?

Область сходимости (ROC) — это набор значений z, для которых бесконечная сумма Z-преобразования сходится. Для правосторонних каузальных последовательностей ROC находится вне самого внешнего полюса, поэтому она имеет вид |z| больше радиуса полюса.

Какое обратное Z-преобразование возвращает этот калькулятор?

Этот калькулятор возвращает каузальное одностороннее обратное Z-преобразование. Он разлагает X(z) в степенной ряд по q = z^-1, так что коэффициент при q^n является отображаемым отсчетом x[n].

Можно ли вводить такие выражения, как z/(z-a)?

Да. Парсер принимает выражения в z-области, такие как z/(z-0.5), а также обозначение q, где q = z^-1, и прямое обозначение z^-1, например 1/(1 - 0.5*z^-1).

Какие формулы последовательностей поддерживаются для прямых преобразований?

Прямой режим поддерживает списки конечных отсчетов и распространенные правосторонние формулы, включая константы, a^n, n*a^n, n^2*a^n, sin(ωn), cos(ωn), затухающие синусоиды, u[n] и delta[n-k].

Ссылки

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор Z-преобразования" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-z-преобразования/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

Команда miniwebtool. Обновлено: 24 апр. 2026 г.

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.

Последовательность	Z-преобразование	Каузальная ROC
\(a^n u[n]\)	\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(n a^n u[n]\)	\(\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}\)	\(\|z\|>\|a\|\)
\(\cos(\omega n)u[n]\)	\(\frac{1-\cos(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)
\(\sin(\omega n)u[n]\)	\(\frac{\sin(\omega)z^{-1}}{1-2\cos(\omega)z^{-1}+z^{-2}}\)	\(\|z\|>1\)