Калькулятор частных производных

Вычисляйте частные производные функций нескольких переменных с подробными пошаговыми решениями, интерактивными примерами и геометрической визуализацией касательных плоскостей.

Попробуйте эти примеры

x**2*y + y**3 по x sin(x*y) смешанная e**(x+y) второй порядок x**2+y**2+z**2 по x ln(x**2+y**2) смешанная x*y*z тройная частная

f Функция f(x, y, ...)

Используйте ** для степеней, sin, cos, exp, log, sqrt для функций

d Дифференцировать по

x первый порядок | x:2 второй порядок | x,y смешанная частная

Embed Калькулятор частных производных Widget

О Калькулятор частных производных

Добро пожаловать в наш Калькулятор частных производных — комплексный инструмент для вычисления частных производных функций нескольких переменных с подробными пошаговыми решениями. Независимо от того, являетесь ли вы студентом, изучающим многомерное дифференциальное исчисление, инженером, решающим задачи оптимизации, или ученым, работающим с уравнениями скорости, этот калькулятор обеспечит точные результаты с полными математическими объяснениями.

Что такое частная производная?

Частная производная измеряет, как изменяется функция нескольких переменных, когда меняется одна из ее входных переменных, в то время как все остальные переменные остаются постоянными. В отличие от обыкновенных производных, которые применяются к функциям одной переменной, частные производные являются основополагающими для многомерного исчисления и встречаются во всей науке, технике, экономике и машинном обучении.

Математическое определение

Для функции $ f(x, y) $ двух переменных частная производная по $ x $ определяется как:

Определение частной производной

$${\frac{\partial f}{\partial x}} = {\lim_{\Delta x \to 0}} {\frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}}$$

При вычислении $ {\frac{\partial f}{\partial x}} $ мы рассматриваем $ y $ как константу и дифференцируем только по $ x $. Аналогично, $ {\frac{\partial f}{\partial y}} $ рассматривает $ x $ как константу.

Ключевые понятия

1 Частные производные первого порядка

Дифференцируйте один раз по одной переменной, считая остальные постоянными. Для $ f(x,y) $ это $ f_x $ и $ f_y $.

2 Частные производные второго порядка

Дифференцируйте дважды: либо $ f_{xx} $, $ f_{yy} $ (чистые), либо $ f_{xy} $, $ f_{yx} $ (смешанные частные производные).

3 Смешанные производные

Согласно теореме Клеро, если вторые частные производные непрерывны, то $ f_{xy} = f_{yx} $. Порядок дифференцирования не имеет значения.

4 Вектор градиента

Градиент $ \nabla f = (f_x, f_y, f_z) $ указывает направление наискорейшего возрастания. Его величина — это максимальная скорость изменения.

Как пользоваться этим калькулятором

Введите вашу функцию: Введите функцию нескольких переменных, используя стандартную нотацию. Примеры: x**2*y, sin(x*y), e**x * cos(y), x**3 + y**3 - 3*x*y.
Укажите переменные дифференцирования: Введите переменную(ые), по которой(ым) нужно дифференцировать:
- x — первая производная по x
- x:2 — вторая производная по x
- x,y — смешанная частная производная (сначала x, затем y)
- x:2,y:1 — вторая по x, первая по y
Нажмите Вычислить: Калькулятор вычислит частную производную с полным пошаговым решением, показывающим, какие правила дифференцирования были применены.

Поддерживаемые функции и синтаксис

Тип функции	Примеры синтаксиса	Примечания
Степени	`x2`, `x^3`, `x0.5`	Используйте ** или ^ для экспонент
Тригонометрические	`sin(x)`, `cos(y)`, `tan(z)`	Также: sec, csc, cot
Обратные тригонометрические	`asin(x)`, `atan(y)`	Также: acos, acot, asec, acsc
Экспоненциальные	`exp(x)`, `e**x`	Натуральная экспоненциальная функция
Логарифмические	`log(x)`, `ln(x)`	Натуральный логарифм (по основанию e)
Квадратный корень	`sqrt(x)`, `x**0.5`	Эквивалентные формы
Гиперболические	`sinh(x)`, `cosh(y)`, `tanh(z)`	Гиперболические функции
Умножение	`x*y`, `xy`, `2xy`	Поддерживается неявное умножение

Примененные правила дифференцирования

Этот калькулятор определяет и отображает, какие правила дифференцирования используются на каждом шаге:

Степенное правило: $ {\frac{\partial}{\partial x}}(x^n) = nx^{n-1} $
Правило суммы: $ {\frac{\partial}{\partial x}}(f + g) = {\frac{\partial f}{\partial x}} + {\frac{\partial g}{\partial x}} $
Правило произведения: $ {\frac{\partial}{\partial x}}(fg) = f {\frac{\partial g}{\partial x}} + g {\frac{\partial f}{\partial x}} $
Правило частного: $ {\frac{\partial}{\partial x}}\left(\\{ \frac{f}{g} \\}\right) = \frac{g {\frac{\partial f}{\partial x}} - f {\frac{\partial g}{\partial x}}}{g^2} $
Правило цепочки: $ {\frac{\partial}{\partial x}}f(g(x,y)) = f'(g) \cdot {\frac{\partial g}{\partial x}} $
Правило умножения на константу: $ {\frac{\partial}{\partial x}}(cf) = c {\frac{\partial f}{\partial x}} $

Применение частных производных

Градиент и оптимизация

Частные производные образуют вектор градиента, который необходим для поиска максимумов, минимумов и седловых точек функций нескольких переменных. Приравнивание всех частных производных к нулю позволяет найти критические точки.

Физика и инженерия

Частные производные описывают, как изменяются физические величины: температурные градиенты, электрический потенциал, гидродинамика и волновые уравнения — все это основано на частном дифференцировании.

Машинное обучение

Алгоритмы градиентного спуска используют частные производные для минимизации функций потерь. Каждый вес в нейронной сети обновляется с использованием частной производной потери по отношению к этому весу.

Экономика

Маржинальный анализ использует частные производные для измерения того, как изменяется выпуск по отношению к одному входу (труд, капитал), в то время как другие остаются фиксированными.

Часто задаваемые вопросы

Что такое частная производная?

Частная производная измеряет, как изменяется функция нескольких переменных, когда меняется одна переменная, в то время как все остальные переменные остаются постоянными. Для функции f(x,y) частная производная по x, обозначаемая как df/dx, рассматривает y как константу и дифференцирует только по x.

Как вычислить частную производную второго порядка?

Чтобы вычислить частную производную второго порядка, нужно дифференцировать дважды. Вы можете дифференцировать дважды по одной и той же переменной (например, d2f/dx2) или по разным переменным (смешанная частная производная, например, d2f/dxdy). Введите формат типа 'x:2' для второй производной по x или 'x,y' для смешанной производной.

В чем разница между частными и обыкновенными производными?

Обыкновенные производные применяются к функциям одной переменной, измеряя скорость изменения относительно этой одной переменной. Частные производные применяются к функциям нескольких переменных и измеряют скорость изменения относительно одной переменной, рассматривая все остальные переменные как константы.

Что такое смешанная частная производная?

Смешанная частная производная включает в себя дифференцирование по разным переменным последовательно. Например, d2f/dxdy означает сначала дифференцирование f по y, а затем дифференцирование результата по x. Согласно теореме Клеро, для большинства функций d2f/dxdy = d2f/dydx.

Как вводить функции в калькулятор?

Используйте стандартную математическую нотацию: x**2 или x^2 для степеней, sin(x), cos(x), tan(x) для тригонометрических функций, exp(x) или e**x для экспоненты, log(x) или ln(x) для натурального логарифма, sqrt(x) для квадратного корня. Умножение может быть неявным (xy) или явным (x*y).

Дополнительные ресурсы

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор частных производных" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-частных-производных/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 19 января 2026 г.

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.