Калькулятор угла между векторами

Рассчитайте угол между двумя 2D или 3D векторами по формуле cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Получите пошаговое решение, результат в градусах и радианах, интерактивную диаграмму и геометрическую интерпретацию.

БесплатноБез регистрацииМгновенный результат

Калькулятор угла между векторамиПопробуйте — бесплатно ▼

Embed Калькулятор угла между векторами Widget

О Калькулятор угла между векторами

Калькулятор угла между векторами находит угол между двумя 2D или 3D векторами с использованием формулы скалярного произведения $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$. Введите компоненты ваших векторов, чтобы мгновенно получить угол в градусах и радианах, полное пошаговое решение, модули векторов, скалярное произведение, единичные векторы, проекцию, геометрическую интерпретацию и интерактивную диаграмму с настраиваемыми слоями.

Формула угла через скалярное произведение

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выводится из тождества скалярного произведения:

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Где:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n$ — это скалярное произведение
$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}$ — это модуль (длина) вектора a
$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)$ дает угол в диапазоне от 0° до 180°

Понимание знака скалярного произведения

✓

a · b > 0

Острый угол (0° < θ < 90°) — векторы направлены в схожих направлениях

⊥

a · b = 0

Прямой угол (θ = 90°) — векторы перпендикулярны / ортогональны

↔

a · b < 0

Тупой угол (90° < θ < 180°) — векторы направлены в разные стороны

Применение в реальном мире

🎮

Разработка игр

Проверка поля зрения и углов освещения

🤖

Машинное обучение

Косинусное сходство для сравнения текстов и документов

🔧

Физика

Работа = F·d·cos θ для силы вдоль перемещения

📡

Обработка сигналов

Фазовый угол между векторами сигналов

🏗

Инженерия

Структурный анализ направлений сил

🧬

Биоинформатика

Сходство векторов экспрессии генов

Основные формулы

Формула	Выражение	Описание
Скалярное произведение (2D)	$a_1 b_1 + a_2 b_2$	Сумма покомпонентных произведений
Скалярное произведение (3D)	$a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$	Расширяется до трех компонентов
Модуль	$\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$	Длина (норма) вектора
Угол	$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\right)$	Всегда в диапазоне от 0° до 180°
Косинусное сходство	$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}$	То же, что и cos θ — от −1 до 1
Проекция	$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}$	Компонент вектора a вдоль b

Как использовать калькулятор угла между векторами

Введите вектор a: Введите компоненты через запятую. Используйте 2 компонента для 2D (например, 3, 4) или 3 компонента для 3D (например, 1, 2, 3). Нажмите любой быстрый пример для автозаполнения обоих полей.
Введите вектор b: Введите компоненты второго вектора в той же размерности, что и вектор a.
Следите за предпросмотром: Диаграмма обновляется в реальном времени, показывая оба вектора и вычисленный угол по мере ввода данных.
Нажмите Рассчитать: Нажмите кнопку, чтобы получить полный результат, включая угол в градусах и радианах, пошаговое решение и интерактивную диаграмму.
Изучите диаграмму: Переключайте слои (дуга угла, проекция, сетка, метки) для различных визуализаций. Для 3D векторов используйте перетаскивание для вращения.

2D против 3D векторов

Формула угла через скалярное произведение работает идентично как в 2D, так и в 3D — меняется только количество компонентов. В 2D векторы имеют компоненты (x, y), и диаграмма показывает плоскую декартову плоскость с четкой дугой угла. В 3D векторы имеют компоненты (x, y, z), и диаграмма предоставляет интерактивный вращаемый изометрический вид. Математический принцип остается прежним: вычислить скалярное произведение, разделить на произведение модулей и взять арккосинус.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула угла между двумя векторами?

Угол между двумя векторами a и b находится с помощью формулы скалярного произведения: cos(θ) = (a · b) / (|a| × |b|). Сначала вычислите скалярное произведение (сумму покомпонентных произведений), затем разделите его на произведение двух модулей и, наконец, возьмите арккосинус, чтобы получить угол θ.

Можно ли найти угол между 2D векторами?

Да. Формула скалярного произведения работает в любом измерении. Для 2D векторов (x, y) скалярное произведение равно a₁b₁ + a₂b₂, а модули используют те же два компонента. Формула и шаги идентичны 3D — просто на один компонент меньше.

Что означает, когда угол между векторами равен 90 градусов?

Когда угол равен 90°, векторы перпендикулярны (ортогональны). Их скалярное произведение равно нулю, что означает, что они не имеют общих компонентов в одном направлении. Эта концепция фундаментальна в линейной алгебре, физике и машинном обучении (ортогональные признаки независимы).

Каков диапазон угла между двумя векторами?

Угол между двумя векторами всегда находится в пределах от 0° до 180° (от 0 до π радиан). При 0° векторы параллельны и направлены в одну сторону, при 90° они перпендикулярны, а при 180° направлены в точно противоположные стороны.

Как скалярное произведение связано с углом между векторами?

Скалярное произведение a · b равно |a| × |b| × cos(θ). Положительное скалярное произведение означает, что угол острый (меньше 90°), нулевое — векторы перпендикулярны (ровно 90°), а отрицательное — угол тупой (больше 90°). Нормализованная версия, косинусное сходство, широко используется в NLP и рекомендательных системах.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор угла между векторами" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-угла-между-векторами/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 2026-04-10

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.