Калькулятор Связанных Скоростей

Составляет и решает задачи на связанные скорости шаг за шагом с неявным дифференцированием и цепным правилом. Охватывает расширяющуюся сферу, скользящую лестницу, наполняемый конус, рябь, длину тени, сближающиеся машины и надувной шар.

БесплатноБез регистрацииМгновенный результат

Калькулятор Связанных СкоростейПопробуйте — бесплатно ▼

Примеры:

🔵 Расширяющаяся сфера Изменение радиуса → найти скорость изменения объема или площади поверхности 🪜 Скользящая лестница Лестница сползает по стене → найти скорость движения верха или низа 🍦 Наполняющийся конус Вода заполняет конус → найти скорость подъема уровня воды 🌊 Рябь на воде Круговая рябь расширяется → найти скорость изменения площади или длины окружности 🏃 Длина тени Человек уходит от фонаря → найти скорость движения конца тени 🚗 Приближающиеся авто Две машины приближаются к перекрестку → найти скорость изменения расстояния между ними 🎈 Надувающийся шар Сферический шар надувается → найти скорость изменения радиуса или площади ▭ Изменяющийся прямоугольник Размеры прямоугольника меняются → найти скорость изменения площади или диагонали

ПРЕДПРОСМОТР СЦЕНАРИЯ

📐 Введите известные значения

🎯 Что нужно найти?

Embed Калькулятор Связанных Скоростей Widget

О Калькулятор Связанных Скоростей

Калькулятор связанных скоростей поможет вам составить и решить задачи на связанные скорости из математического анализа, используя неявное дифференцирование и цепное правило. Введите известные значения для любого из восьми распространенных типов задач — расширяющаяся сфера, скользящая лестница, заполняющийся конус, рябь на воде, длина тени, приближающиеся автомобили, надувающийся шар или меняющийся прямоугольник — и получите полное пошаговое решение с анимированными диаграммами, показывающими, как величины меняются со временем.

Что такое связанные скорости?

Связанные скорости — это метод в дифференциальном исчислении для нахождения скорости изменения одной величины путем ее связи с другими величинами, скорости изменения которых известны. Ключевым инструментом является неявное дифференцирование: вы дифференцируете уравнение, связывающее переменные, по времени \(t\), применяя цепное правило к каждому члену. В результате получается уравнение, связывающее скорости \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\) и т.д., которое вы затем решаете относительно неизвестной скорости.

5-шаговый метод

Нарисуйте диаграмму

Набросайте сценарий и отметьте все переменные, которые меняются со временем.

Запишите уравнение

Найдите уравнение, связывающее используемые переменные (например, теорема Пифагора, формула объема).

Дифференцируйте по t

Примените неявное дифференцирование и цепное правило к обеим частям уравнения.

Подставьте значения

Подставьте все данные значения и известные скорости для конкретного момента времени.

Найдите неизвестную скорость

Изолируйте искомую скорость и упростите выражение, чтобы получить ответ.

Поддерживаемые типы задач

Задача	Связь	После дифференцирования
Расширяющаяся сфера	\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)	\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\)
Скользящая лестница	\(x^2 + y^2 = L^2\)	\(2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0\)
Заполняющийся конус	\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)	\(\frac{dV}{dt} = \frac{R^2\pi}{H^2} h^2 \frac{dh}{dt}\)
Рябь на воде	\(A = \pi r^2\)	\(\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}\)
Длина тени	\(\frac{H}{x+s} = \frac{h}{s}\)	\(\frac{ds}{dt} = \frac{h}{H-h} \frac{dx}{dt}\)
Приближающиеся автомобили	\(z^2 = x^2 + y^2\)	\(z\frac{dz}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}\)
Надувающийся шар	\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)	\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\)
Меняющийся прямоугольник	\(A = l \times w\)	\(\frac{dA}{dt} = \frac{dl}{dt}w + l\frac{dw}{dt}\)

Применение в реальном мире

🏗

Инженерия

Скорость структурного напряжения, поток жидкости, тепловое расширение

🏥

Медицина

Скорость концентрации лекарств, моделирование роста опухоли

📈

Экономика

Предельные издержки/доход, моделирование уровня инфляции

🚀

Физика

Скорость, ускорение, скорость электромагнитного потока

🌍

Экология

Распространение разливов нефти, скорость диффузии загрязнения

🎮

Геймдев

Отслеживание объектов, время столкновения, физические движки

Как использовать Калькулятор связанных скоростей

Выберите тип задачи: Нажмите на одну из восьми карточек сценариев (расширяющаяся сфера, скользящая лестница и т.д.) или воспользуйтесь быстрым примером для автозаполнения.
Введите известные значения: Заполните текущие размеры и известные скорости изменения для вашей задачи.
Выберите, что нужно найти: Используйте выпадающий список, чтобы выбрать, какую неизвестную скорость вы хотите вычислить.
Нажмите Решить: Нажмите кнопку «Решить связанную скорость», чтобы получить результаты.
Изучите решение: Изучите анимированную диаграмму, карточки с описанием связи и формы цепного правила, а также полный пошаговый процесс неявного дифференцирования.

Основные понятия исчисления

Цепное правило: Если \(y = f(g(t))\), то \(\frac{dy}{dt} = f'(g(t)) \cdot g'(t)\). В задачах на связанные скорости каждая переменная является функцией времени, поэтому дифференцирование \(r^2\) дает \(2r \frac{dr}{dt}\), а не просто \(2r\).

Неявное дифференцирование: Вместо того чтобы сначала решать уравнение относительно одной переменной, вы дифференцируете все уравнение как есть, рассматривая каждую переменную как функцию \(t\). Это естественным образом вводит члены скоростей \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\) и т.д.

Правило произведения: Когда перемножаются две изменяющиеся величины (например, \(A = l \times w\)), правило произведения дает \(\frac{dA}{dt} = \frac{dl}{dt} \cdot w + l \cdot \frac{dw}{dt}\). Оба члена важны, так как меняются оба измерения.

Советы по решению задач на связанные скорости

Никогда не подставляйте значения до дифференцирования. Сначала уравнение должно быть продифференцировано в общем виде, и только затем подставляются значения для конкретного момента времени.
Следите за знаками. Отрицательная скорость означает, что величина уменьшается. Например, если автомобиль приближается к перекрестку, расстояние до него уменьшается, поэтому \(\frac{dx}{dt} < 0\).
Исключайте лишние переменные. Используйте геометрические связи (например, подобие треугольников в задаче с конусом), чтобы выразить одну переменную через другую перед дифференцированием.
Единицы измерения должны быть согласованы. Если радиус указан в сантиметрах, а скорость — в см/сек, то скорость изменения объема будет в см³/сек.

FAQ

Что такое связанные скорости в исчислении?

Задачи на связанные скорости включают нахождение скорости изменения одной величины на основе скорости изменения связанной с ней величины. Они используют неявное дифференцирование и цепное правило для связи скоростей изменения через общее уравнение, связывающее переменные.

Как решить задачу на связанные скорости?

Выполните пять шагов: (1) нарисуйте диаграмму и отметьте переменные, (2) запишите уравнение, связывающее переменные, (3) продифференцируйте обе части по времени, используя цепное правило, (4) подставьте все известные значения для данного момента, и (5) найдите неизвестную скорость.

Что такое неявное дифференцирование в связанных скоростях?

Неявное дифференцирование рассматривает каждую переменную как функцию времени t. Вместо изоляции y перед дифференцированием, вы дифференцируете все уравнение напрямую. Цепное правило автоматически вводит члены скорости, такие как dy/dt, связывая переменные с их скоростями изменения.

Почему в связанных скоростях используется цепное правило?

Цепное правило необходимо, потому что переменные в уравнении сами являются функциями времени. Когда вы дифференцируете r² по t, цепное правило дает 2r(dr/dt), а не просто 2r. Именно это связывает каждую величину с ее скоростью изменения и обеспечивает работу всего метода.

Могут ли задачи на связанные скорости иметь отрицательные ответы?

Да. Отрицательная скорость изменения означает, что величина уменьшается. Например, когда лестница соскальзывает по стене вниз, dy/dt отрицательно, так как высота y уменьшается. Знак несет важный физический смысл о направлении изменения.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор Связанных Скоростей" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-связанных-скоростей/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 2026-04-07

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.