Калькулятор Нулевого Пространства

Найдите нулевое пространство (ядро) любой матрицы, решая Ax = 0 методом исключения Гаусса. Получите базисные векторы, размерность ядра, пошаговое приведение к RREF и проверку теоремы о ранге и дефекте с точными дробными вычислениями.

БесплатноБез регистрацииМгновенный результат

Калькулятор Нулевого ПространстваПопробуйте — бесплатно ▼

Embed Калькулятор Нулевого Пространства Widget

О Калькулятор Нулевого Пространства

Калькулятор нулевого пространства находит нулевое пространство (ядро) любой матрицы, решая однородную систему Ax = 0. Введите матрицу любого размера до 8×8 и получите полный базис нулевого пространства с точной дробной арифметикой, пошаговым методом Гаусса до ступенчатого вида (RREF), классификацией столбцов (ведущие и свободные) и проверкой теоремы о ранге и дефекте.

What Is the Null Space of a Matrix?

Нулевое пространство (также называемое ядром) матрицы $A$ размера $m \times n$ — это множество всех векторов $\mathbf{x}$ из $\mathbb{R}^n$, удовлетворяющих условию:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

В виде множества: $\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$. Нулевое пространство всегда является подпространством $\mathbb{R}^n$, то есть содержит нулевой вектор и замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.

⊕

Subspace

The null space is always a subspace of R^n. It contains the zero vector and is closed under addition and scalar multiplication.

📊

Dimension = Nullity

The dimension of the null space equals the nullity — the number of free variables after row reduction.

↔

Free Variables

Each free variable in the RREF contributes one basis vector to the null space.

⚖

Rank-Nullity

rank(A) + nullity(A) = n, where n is the number of columns. This always holds.

How to Find the Null Space

Шаг 1. Установите число строк (m) и столбцов (n) матрицы с помощью кнопок +/−, либо выберите готовый пример.

Шаг 2. Введите значения матрицы в таблицу. Можно вводить целые числа, десятичные дроби или обыкновенные дроби вида 1/3 или -5/2. Используйте Tab, Enter или стрелки для перемещения между ячейками.

Шаг 3. Нажмите «Найти нулевое пространство». Калькулятор выполняет метод Гаусса, приводя матрицу к ступенчатому виду (RREF).

Шаг 4. Определите ведущие и свободные столбцы. Каждый свободный столбец соответствует свободной переменной, которая может принимать любое значение.

Шаг 5. Для каждой свободной переменной присвойте ей значение 1, а всем остальным свободным переменным — 0, затем найдите значения ведущих переменных. Полученные векторы образуют базис нулевого пространства.

Null Space vs. Column Space

Property	Null Space	Column Space
Definition	All x such that Ax = 0	All b such that Ax = b has a solution
Lives in	$\mathbb{R}^n$ (domain)	$\mathbb{R}^m$ (codomain)
Dimension	nullity = n − rank	rank
Found from	Free columns of RREF	Pivot columns of A

The Rank-Nullity Theorem

For any $m \times n$ matrix $A$:

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

Ранг равен числу ведущих столбцов в RREF, а дефект — числу свободных столбцов. Вместе они учитывают все столбцы. Эта теорема также известна как теорема о размерности линейных отображений.

Special Cases

Scenario	Null Space	What It Means
Full column rank (rank = n)	Only {0}	Columns are linearly independent; Ax = 0 has only the trivial solution
More columns than rows (n > m)	Always nontrivial	There are at least n − m free variables, so infinitely many solutions exist
Square singular matrix	Nontrivial	The matrix has a zero determinant and dependent rows/columns
Zero matrix	All of $\mathbb{R}^n$	Every vector is in the null space; the basis is the standard basis

Applications of the Null Space

📐

Linear Systems

The general solution to Ax = b is x = x_p + Null(A), where x_p is one particular solution.

📊

Linear Independence

Columns of A are linearly independent if and only if Null(A) = {0}.

🔄

Differential Equations

The solution space of a homogeneous linear ODE system is the null space of the coefficient matrix.

🔐

Error-Correcting Codes

In coding theory, valid codewords form the null space of the parity-check matrix H.

Frequently Asked Questions

What is the null space of a matrix?

Нулевое пространство (или ядро) матрицы A — это множество всех векторов x, для которых Ax = 0. Это подпространство R^n, где n — число столбцов. Нулевое пространство всегда содержит нулевой вектор и может содержать бесконечно много ненулевых векторов, если у матрицы есть свободные переменные.

How do you find the null space?

Приведите матрицу A к ступенчатому виду (RREF) методом Гаусса. Определите ведущие и свободные столбцы. Для каждой свободной переменной присвойте ей значение 1, а всем остальным свободным переменным — 0, затем найдите значения ведущих переменных. Полученные векторы образуют базис нулевого пространства.

What is the rank-nullity theorem?

Теорема о ранге и дефекте утверждает, что для матрицы A размера m на n выполняется rank(A) + nullity(A) = n, где n — число столбцов. Ранг — это число ведущих столбцов, а дефект — размерность нулевого пространства (число свободных переменных).

Что означает, если нулевое пространство тривиально?

Тривиальное нулевое пространство означает, что единственное решение Ax = 0 — это нулевой вектор x = 0. Это происходит, когда каждый столбец является ведущим (полный столбцовый ранг). Это означает, что столбцы A линейно независимы.

Can non-square matrices have a null space?

Да. У любой матрицы есть нулевое пространство. Для матрицы размера m на n, где m меньше n, нулевое пространство гарантированно нетривиально (размерность не менее n - m), потому что неизвестных больше, чем уравнений, и поэтому свободные переменные всегда существуют.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор Нулевого Пространства" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-нулевого-пространства/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool team. Updated: 2026-04-10

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.