С 2010 года · Более 2 млн запусков инструментов в месяц
С 2010 года
Добавить в Chrome

Моя Панель Инструментов

Автоматический Режим

Сохранённых инструментов пока нет.

Премиум-версия
Похожие инструменты
Калькулятор Поверхностного ИнтегралаКалькулятор Теста Сходимости РядовКалькулятор пределовКалькулятор суммы бесконечных рядовКалькулятор правила ЛопиталяКалькулятор объёма тела вращенияПроверка размера сканирования Googlebot
Домашняя страница > Математика > Математический анализ

Калькулятор Несобственного Интеграла

Вычисляйте несобственные интегралы с бесконечными пределами или разрывами. Поддержка интегралов I рода (бесконечные пределы) и II рода (неограниченная функция), с пошаговым решением, анализом сходимости и графиками.

БесплатноБез регистрацииМгновенный результат
Калькулятор Несобственного ИнтегралаПопробуйте — бесплатно ▼
Примеры:
ПРЕДПРОСМОТР ИНТЕГРАЛА
$$\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx$$
📐 Подынтегральное выражение
Поддерживаются: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
📏 Пределы
Конечный нижний предел
Верхний предел — ∞

Embed Калькулятор Несобственного Интеграла Widget

О Калькулятор Несобственного Интеграла

Калькулятор несобственного интеграла вычисляет интегралы, содержащие бесконечные пределы или разрывы подынтегральной функции — случаи, когда стандартные методы интегрирования нельзя применить напрямую. Такие интегралы часто встречаются в теории вероятностей, физике, технике и высшей математике. Этот калькулятор использует адаптивные численные методы, чтобы определить, сходится или расходится несобственный интеграл, и предоставляет точные численные аппроксимации вместе с анимированной визуализацией и анализом сходимости.

Типы несобственных интегралов

→∞
I род: Бесконечный верхний предел
Интеграл \( \int_a^{\infty} f(x)\,dx \) вычисляется как \( \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)\,dx \). Пример: \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = 1 \)
-∞→
I род: Бесконечный нижний предел
Интеграл \( \int_{-\infty}^b f(x)\,dx \) вычисляется как \( \lim_{t\to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx \). Пример: \( \int_{-\infty}^0 e^x\,dx = 1 \)
±∞
I род: Оба предела бесконечны
Разбивается в удобной точке: \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^{\infty} f(x)\,dx \). Обе части должны сходиться независимо.
⚡
II род: Разрыв
Когда f(x) имеет вертикальную асимптоту на границе, вычисляется предел: \( \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx \). Пример: \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2 \)

Как использовать калькулятор несобственного интеграла

  1. Введите функцию — Напечатайте f(x), используя стандартную нотацию. Примеры: 1/x^2, exp(-x^2), 1/(1+x^2), 1/sqrt(x).
  2. Выберите тип интеграла — Укажите, имеет ли интеграл бесконечный верхний или нижний предел, оба бесконечных предела или разрыв на одной из границ.
  3. Установите конечный предел(ы) — Введите необходимые границы. Для бесконечных пределов нужна только одна конечная граница. Для типов с разрывом введите оба предела.
  4. Нажмите «Вычислить» — Калькулятор определит сходимость или расходимость, покажет численное значение (если интеграл сходящийся), предоставит анимированную визуализацию площади, таблицу сходимости, показывающую, как значение стабилизируется при увеличении предела отсечения, и пошаговое решение.

P-тест для сходимости

Один из наиболее важных признаков сходимости несобственных интегралов:

ИнтегралУсловиеРезультат
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p > 1Сходится к \( \frac{1}{p-1} \)
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≤ 1Расходится
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p < 1Сходится к \( \frac{1}{1-p} \)
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≥ 1Расходится

Известные несобственные интегралы

ИнтегралТочное значениеНазвание/Применение
\( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \)\( \sqrt{\pi} \approx 1.7725 \)Интеграл Гаусса (вероятность, физика)
\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx \)\( \pi \approx 3.1416 \)Распределение Коши/Лоренца
\( \int_0^{\infty} e^{-x}\,dx \)1Экспоненциальный распад
\( \int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx \)\( \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \)Интеграл Дирихле (обработка сигналов)
\( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \)2II род, p-тест с p = 1/2

Распространенные применения

Часто задаваемые вопросы

Что такое несобственный интеграл?
Несобственный интеграл — это интеграл, в котором либо один, либо оба предела интегрирования бесконечны, либо подынтегральная функция имеет разрыв (вертикальную асимптоту) внутри интервала. Они вычисляются как пределы: бесконечный предел заменяется переменной, стремящейся к бесконечности, или к точке разрыва приближаются с соответствующей стороны.
Как определить, сходится или расходится несобственный интеграл?
Несобственный интеграл сходится, если предел существует и конечен. Он расходится, если предел бесконечен или не существует. Общие признаки сходимости включают p-тест (интеграл от 1/x^p сходится при p > 1), признак сравнения и предельный признак сравнения. Этот калькулятор определяет сходимость численно, вычисляя значения с увеличивающимися пределами отсечения и проверяя, стабилизируются ли они.
В чем разница между несобственными интегралами I и II рода?
Несобственные интегралы I рода имеют один или оба бесконечных предела интегрирования (например, интеграл от 1 до бесконечности). Несобственные интегралы II рода имеют разрыв подынтегральной функции внутри интервала (например, интеграл от 1/sqrt(x) от 0 до 1, где функция не определена при x = 0).
Что такое интеграл Гаусса?
Интеграл Гаусса — это интеграл от e^(-x²) от минус бесконечности до плюс бесконечности, который равен квадратному корню из числа пи (приблизительно 1.7725). Это один из самых известных несобственных интегралов, фундаментальный в теории вероятностей, статистике и физике. Его нельзя вычислить с помощью элементарных первообразных.
Может ли этот калькулятор находить точные символьные ответы?
Этот калькулятор использует численные методы (адаптивную квадратуру Симпсона) для аппроксимации значения несобственных интегралов. Он обеспечивает высокоточные численные результаты и определяет сходимость или расходимость. Для некоторых известных интегралов, таких как интеграл Гаусса, он также отображает известное точное значение для сравнения.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор Несобственного Интеграла" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-несобственного-интеграла/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 2026-04-05

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.

Математический анализ:

Популярные и обновлённые инструменты:

Калькулятор двойных интеграловКалькулятор Криволинейного ИнтегралаКалькулятор тройного интегралаСмотреть все →
Домашняя страница > Математика > Математический анализ > Калькулятор Несобственного Интеграла