Калькулятор Криволинейного Интеграла

Вычисляйте криволинейные интегралы скалярных полей (∫f ds) и векторных полей (∫F·dr) вдоль параметрических кривых в 2D и 3D. Введите поле, параметрические уравнения и границы, чтобы получить символьные результаты с пошаговыми решениями, длиной дуги и интерактивной визуализацией кривой.

Embed Калькулятор Криволинейного Интеграла Widget

О Калькулятор Криволинейного Интеграла

Калькулятор криволинейного интеграла вычисляет как скалярные криволинейные интегралы \(\int_C f\,ds\), так и векторные криволинейные интегралы \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) вдоль параметрических кривых в 2D и 3D пространстве. Введите поле, параметрические уравнения и границы параметров, чтобы получить полное пошаговое решение с символьными результатами, вычислением длины дуги и анимированной визуализацией кривой.

∫ Скалярный криволинейный интеграл Интегрирует f вдоль кривой, взвешенную по длине дуги ds

⟳ Векторный криволинейный интеграл Скалярное произведение F с касательной dr измеряет работу

📏 Длина дуги Общая длина кривой от r(a) до r(b)

🔄 Потенциальные поля Интегралы, не зависящие от пути, когда ∇×F = 0

Формулы криволинейного интеграла

Тип	Формула	Описание
Скалярный ∫f ds	\(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)	Интегрирование скалярной функции вдоль кривой с весом скорости
Векторный ∫F·dr	\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)	Интеграл скалярного произведения измеряет работу или циркуляцию
Длина дуги	\(L = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)	Общая длина параметрической кривой
Потенциальный	\(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\)	Основная теорема о криволинейных интегралах

Как пользоваться калькулятором криволинейного интеграла

Выберите тип интеграла. Выберите «∫f ds» для скалярного криволинейного интеграла или «∫F·dr» для векторного интеграла (работа/циркуляция).
Выберите размерность. Выберите 2D или 3D в зависимости от вашей кривой и поля.
Введите поле. Для скалярных интегралов введите функцию f(x, y) или f(x, y, z). Для векторных интегралов введите каждый компонент P, Q и R.
Определите параметрическую кривую. Введите x(t), y(t) и, по желанию, z(t). Используйте стандартную математическую нотацию — cos(t), t^2, sin(t) и т. д.
Установите границы. Введите начальное и конечное значения t. Можно использовать такие выражения, как pi или 2*pi.
Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть пошаговое решение, числовой результат, длину дуги и анимацию кривой.

Распространенные параметрические кривые

Кривая	Параметризация	Границы
Окружность (радиус R)	x = R cos(t), y = R sin(t)	t ∈ [0, 2π]
Отрезок линии A→B	r(t) = (1−t)A + tB	t ∈ [0, 1]
Парабола y = x²	x = t, y = t²	t ∈ [a, b]
Спираль (Helix)	x = cos(t), y = sin(t), z = t	t ∈ [0, 2π]
Эллипс	x = a cos(t), y = b sin(t)	t ∈ [0, 2π]

Понимание результатов

Калькулятор предоставляет в результате несколько фрагментов информации:

Значение интеграла: Точный символьный результат (если возможно) и его численное приближение.
Длина дуги: Общая длина кривой, вычисляемая как \(\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\).
Скорость |r'(t)|: Величина вектора скорости, которая выступает в качестве элемента длины дуги.
Проверка на потенциальность поля: Для векторных интегралов калькулятор проверяет, равно ли ∇×F = 0 (является ли поле консервативным). Потенциальные поля имеют интегралы, не зависящие от пути.
Визуализация кривой: Анимированный график параметрической кривой, показывающий направление обхода с движущейся точкой, отслеживающей путь.

Часто задаваемые вопросы

Что такое криволинейный интеграл?

Криволинейный интеграл вычисляет интеграл функции вдоль кривой. Для скалярных полей он суммирует значения f, взвешенные по длине дуги (∫f ds). Для векторных полей он суммирует компоненту F вдоль направления касательной (∫F·dr), что часто интерпретируется как работа, совершаемая силовым полем.

В чем разница между скалярным и векторным криволинейным интегралом?

Скалярный криволинейный интеграл ∫_C f ds интегрирует скалярную функцию f вдоль кривой, взвешенную по элементу длины дуги ds, давая общее накопленное значение f вдоль пути. Векторный криволинейный интеграл ∫_C F·dr интегрирует векторное поле F вдоль кривой, беря скалярное произведение с касательным вектором dr, измеряя, насколько сильно F «толкает» вдоль направления кривой. Скалярные интегралы используются для задач нахождения массы и среднего значения; векторные интегралы вычисляют работу и циркуляцию.

Как параметризовать кривую для криволинейного интеграла?

Параметрическая кривая r(t) выражает каждую координату как функцию одного параметра t. Например, окружность радиуса R параметризуется как x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) при t от 0 до 2π. Формула криволинейного интеграла затем преобразует интеграл по кривой в стандартный определенный интеграл по t.

Когда векторный криволинейный интеграл не зависит от пути?

Векторный криволинейный интеграл не зависит от пути, когда векторное поле F является потенциальным, что означает, что его ротор равен нулю везде в односвязной области. В этом случае F равно градиенту потенциальной функции φ, и интеграл зависит только от значений φ в конечных точках, а не от конкретного пройденного пути. Калькулятор автоматически проверяет это условие.

Каков физический смысл криволинейного интеграла?

Физически скалярный криволинейный интеграл может представлять массу проволоки с переменной плотностью или общее тепло вдоль пути. Векторный криволинейный интеграл обычно представляет работу, совершаемую силовым полем над частицей, движущейся вдоль кривой, или циркуляцию поля скоростей жидкости вокруг контура. В электромагнетизме криволинейные интегралы встречаются в законе Ампера и законе Фарадея.

Какую математическую нотацию принимает калькулятор?

Используйте стандартную математическую нотацию: ^ для возведения в степень (x^2), * для умножения (2*x, хотя неявное умножение, такое как 2x, также работает) и стандартные имена функций, такие как sin, cos, tan, exp, log, sqrt. Для границ параметров можно вводить выражения типа pi, 2*pi или числовые значения.

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор Криволинейного Интеграла" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-криволинейного-интеграла/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 2026-04-08

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.