Калькулятор комплексных чисел

Q: Как переводить числа из прямоугольной формы в полярную и наоборот?

Для перевода из прямоугольной формы (a+bi) в полярную (r∠θ): вычислите r = √(a² + b²) для модуля и θ = arctan(b/a) для аргумента. Для перевода из полярной формы в прямоугольную: вычислите a = r·cos(θ) для вещественной части и b = r·sin(θ) для мнимой части.

Q: Как найти корни n-й степени комплексного числа?

Чтобы найти n корней n-й степени из z = r∠θ, используйте формулу: root_k = r^(1/n) ∠ ((θ + 2πk)/n) для k = 0, 1, 2, ..., n-1. Это дает n различных корней, равномерно расположенных на окружности радиуса r^(1/n) на комплексной плоскости.

Выполняйте операции с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, преобразование форм, вычисление модуля, аргумента, сопряжения, возведение в степень и извлечение корня с подробными пошаговыми решениями и интерактивной визуализацией на комплексной плоскости.

Калькулятор комплексных чисел

Быстрые примеры — нажмите, чтобы попробовать

+ Сложение (3+4i)+(1-2i)

- Вычитание (5+3i)-(2+i)

× Умножение (2+3i)×(4-i)

÷ Деление (6+8i)÷(3-4i)

|z| Модуль |3+4i|

∠ Аргумент arg(1+i)

z̄ Сопряжение conj(4-3i)

→∠ В полярную 3+4i → r∠θ

→z В прямоуг. 5∠53° → a+bi

zⁿ Степень (1+i)⁴

ⁿ√ Корни ³√8

z₁ Первое комплексное число

Принимает прямоугольную (a+bi) или полярную (r∠θ°) форму

⚙ Операция

z₂ Второе комплексное число

n Показатель / Степень корня

Положительное целое число для операций степени или корня

Embed Калькулятор комплексных чисел Widget

О Калькулятор комплексных чисел

Добро пожаловать в Калькулятор комплексных чисел — мощный математический инструмент для выполнения операций над комплексными числами с пошаговыми решениями и интерактивной визуализацией. Независимо от того, являетесь ли вы студентом, изучающим мнимые числа, инженером, анализирующим цепи переменного тока, или математиком, исследующим комплексную плоскость, этот калькулятор предоставляет исчерпывающие решения для всех ваших вычислений.

Что такое комплексное число?

Комплексное число — это число, которое можно представить в виде $ a + bi $, где $ a $ и $ b $ — вещественные числа, а $ i $ — мнимая единица, удовлетворяющая условию $ i^2 = -1 $. Число $ a $ называется вещественной частью, а $ b $ — мнимой частью комплексного числа.

Прямоугольная форма

Записывается как $ z = a + bi $, представляя точку с координатами (a, b) на комплексной плоскости.

Полярная форма

Записывается как $ z = r \angle \theta $ или $ z = re^{i\theta} $, где r — модуль, а theta — аргумент.

Мнимая единица

Символ $ i $ обозначает $ \sqrt{-1} $, позволяя решать уравнения вида $ x^2 + 1 = 0 $.

Поддерживаемые операции

Арифметические операции

Сложение

$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

Вычитание

$$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$

Умножение

$$(a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

Деление

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$$

Свойства комплексных чисел

Модуль: $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $ — расстояние от начала координат
Аргумент: $ \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ — угол с положительной вещественной осью
Сопряжение: $ \overline{z} = a - bi $ — зеркальное отражение относительно вещественной оси

Преобразование форм

Из прямоугольной в полярную

$$z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

Из полярной в прямоугольную

$$z = r \angle \theta \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta$$

Степени и корни

Формула Муавра (Степени)

$$(r \angle \theta)^n = r^n \angle (n\theta)$$

Корни n-й степени

$$\sqrt[n]{r \angle \theta} = \sqrt[n]{r} \angle \left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, ..., n-1$$

Как пользоваться этим калькулятором

Введите комплексное число: Используйте прямоугольную форму (например, 3+4i, -2-5i) или полярную форму (например, 5∠45°, 3∠π/4). Калькулятор автоматически определит формат.
Выберите операцию: Выберите из арифметических операций, преобразований или функций, таких как модуль, аргумент, степень и корень.
Введите дополнительные данные: Для бинарных операций введите второе комплексное число. Для степени/корня введите показатель.
Нажмите «Рассчитать»: Просмотрите результаты в прямоугольной и полярной формах с подробными пошаговыми решениями и визуализацией на комплексной плоскости.

Применение комплексных чисел

Электротехника

Анализ цепей переменного тока использует комплексный импеданс для представления сопротивления, емкости и индуктивности.

Обработка сигналов

Преобразования Фурье используют комплексные экспоненты для анализа и фильтрации сигналов.

Квантовая механика

Волновые функции являются комплекснозначными, а вероятность определяется квадратом модуля.

Системы управления

Полюса и нули на комплексной плоскости определяют устойчивость и отклик системы.

Часто задаваемые вопросы

Что такое комплексное число?

Комплексное число — это число, которое можно представить в виде a + bi, где a и b — вещественные числа, а i — мнимая единица, удовлетворяющая условию i² = -1. Вещественная часть — 'a', а мнимая часть — 'b'. Комплексные числа расширяют систему вещественных чисел и необходимы во многих областях математики, физики и инженерии.

Как переводить числа из прямоугольной формы в полярную и наоборот?

Для перевода из прямоугольной формы (a+bi) в полярную (r угол theta): вычислите r = sqrt(a² + b²) для модуля и theta = arctan(b/a) для аргумента. Для перевода из полярной формы в прямоугольную: вычислите a = r * cos(theta) для вещественной части и b = r * sin(theta) для мнимой части.

Что такое формула Муавра?

Формула Муавра утверждает, что для комплексного числа в полярной форме z = r(cos theta + i sin theta) и любого целого n справедливо: z^n = r^n(cos(n * theta) + i sin(n * theta)). Эта формула значительно упрощает вычисление степеней и корней комплексных чисел, позволяя работать с полярной формой вместо многократного умножения.

Как найти корни n-й степени комплексного числа?

Чтобы найти n корней n-й степени из z = r угол theta, используйте формулу: root_k = r^(1/n) угол ((theta + 2 pi k)/n) для k = 0, 1, 2, ..., n-1. Это дает n различных корней, равномерно расположенных на окружности радиуса r^(1/n) на комплексной плоскости.

Где применяются комплексные числа?

Комплексные числа используются в электротехнике для анализа цепей переменного тока, в обработке сигналов для преобразований Фурье, в квантовой механике для волновых функций, в системах управления для анализа устойчивости, в гидродинамике и при решении полиномиальных уравнений. Они обеспечивают элегантные решения задач, которые были бы трудны при использовании только вещественных чисел.

Дополнительные ресурсы

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор комплексных чисел" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-комплексных-чисел/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 20 января 2026 г.

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.