Калькулятор выпуклости облигаций

О Калькулятор выпуклости облигаций

Калькулятор Выпуклости Облигаций измеряет чувствительность второго порядка цены облигации к изменениям ее доходности. В то время как модифицированная дюрация показывает наклон кривой цена-доходность в одной точке, выпуклость говорит о том, насколько сильно эта кривая изгибается — показатель, который приобретает огромное значение при значительных колебаниях доходности. Этот калькулятор делает то, что пропускает большинство онлайн-инструментов: он позволяет увидеть рядом прогноз цены только по дюрации, прогноз дюрация плюс выпуклость и точную цену пересчитанной облигации, делая размер и направление поправки на кривизну очевидными с первого взгляда.

Что отличает этот калькулятор

Как пользоваться калькулятором выпуклости облигаций

1. Нажмите на пресет быстрого запуска (2-летние Казначейские, 10-летние Казначейские, 30-летние корпоративные или 5-летние бескупонные), чтобы мгновенно заполнить поля, или введите свои данные.
2. Введите номинал облигации (par), годовую купонную ставку, текущую доходность к погашению и количество лет до погашения.
3. Выберите частоту купона. Полугодовая выплата является стандартной для облигаций США; выберите годовую для европейских или бескупонных облигаций, квартальную или ежемесячную для некоторых структурных нот.
4. Переместите слайдер шока доходности, чтобы выбрать изменение в базисных пунктах, которое вас интересует. 100 б.п. — обычный размер стресс-теста; выберите 300+ б.п., чтобы увидеть реальное влияние выпуклости.
5. Нажмите «Рассчитать» и изучите карточку вердикта, панель сравнения, график кривой шока, водопад денежных потоков и таблицу атрибуции.

Математика «под капотом»

Каждый результат начинается со стандартного уравнения приведенной стоимости облигации, где каждый купон и итоговая выплата номинала дисконтируются по периодической доходности \(y = y_{annual}/m\) с \(m\) периодами в году и общим количеством периодов \(n = y_{maturity} \cdot m\):

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

Дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков (по PV), выраженное в годах путем деления на \(m\):

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \ )

Модифицированная дюрация корректирует дюрацию Маколея на периодическую доходность и показывает процентное изменение цены на 1% изменения доходности:

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \ )

Выпуклость — это взвешенная по цене сумма весовых коэффициентов времени второго порядка, приведенная к годам в квадрате путем деления на \(m^2\):

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \ )

Эти два показателя объединяются во второе приближение Тейлора для процентного изменения цены при сдвиге доходности \(\Delta y\):

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \ )

Член с выпуклостью всегда неотрицателен из-за квадрата изменения доходности. Вот почему говорят, что облигации с более высокой выпуклостью обладают «подарком выпуклости» — они растут больше при падении доходности, чем предсказывает дюрация, и теряют меньше при ее росте.

Интерпретация результатов

Несколько эмпирических правил, которые следует помнить при чтении выходных данных:

• Выпуклость масштабируется примерно пропорционально квадрату срока погашения. 30-летняя облигация может иметь в 10 раз большую выпуклость, чем 5-летняя при схожих соотношениях дюрации.
• Низкие купоны означают более высокую выпуклость. Бескупонная облигация имеет самую высокую выпуклость для своего срока погашения, так как весь денежный поток находится в самой удаленной точке.
• Более высокая доходность означает более низкую выпуклость. Фактор дисконтирования \((1+y)^{t+2}\) в знаменателе уменьшает вклад отдаленных денежных потоков при росте доходности.
• Поправка на выпуклость симметрична по знаку. Независимо от того, растет или падает доходность на 100 б.п., член выпуклости добавляет один и тот же положительный процент к прогнозу цены — это и есть «подарок» кривизны.

Часто задаваемые вопросы

Что такое выпуклость облигации?

Выпуклость — это вторая производная цены облигации по отношению к ее доходности, нормированная на цену. Поскольку связь цена-доходность криволинейна, дюрация (первая производная) дает лишь линейную оценку. Выпуклость — это поправка второго порядка, учитывающая этот изгиб.

Почему выпуклость важна для инвесторов?

При больших изменениях доходности (100 б.п. и более) дюрация начинает ошибаться. Выпуклость количественно оценивает асимметрию: при одинаковой дюрации облигация с большей выпуклостью будет показывать лучшие результаты в условиях волатильности.

Какова формула выпуклости?

Выпуклость в годах в квадрате рассчитывается как:

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \ )

где \(P\) — цена, \(m\) — число периодов в году, \(y\) — периодическая доходность, а \(\text{CF}_t\) — поток в периоде \(t\).

Как выпуклость используется для прогнозирования изменения цены?

Процентное изменение цены примерно равно: \(-D_{mod} \cdot \Delta y + 0.5 \cdot C \cdot (\Delta y)^2\). Квадрат изменения доходности делает поправку всегда положительной.

Какие облигации имеют самую высокую выпуклость?

Долгосрочные облигации с низким купоном. У бескупонных облигаций выпуклость максимальна для данного срока погашения.

Всегда ли высокая выпуклость лучше?

Технически — да, но за неё часто приходится платить премию (соглашаться на меньшую доходность). Выбор зависит от ваших ожиданий по волатильности рынка.

Чем выпуклость отличается от дюрации?

Дюрация — это наклон кривой (первый порядок), допущение, что кривая локально прямая. Выпуклость — это сама кривизна (второй порядок). Дюрация точна только для очень малых изменений доходности.

Может ли выпуклость быть отрицательной?

Для обычных облигаций — нет. Но у облигаций с правом отзыва (callable) или ипотечных ценных бумаг (MBS) может быть отрицательная выпуклость в определенных зонах доходности из-за рисков досрочного погашения.

В чем разница между дюрацией Маколея и модифицированной дюрацией?

Дюрация Маколея — это средневзвешенный срок выплат в годах. Модифицированная дюрация получается делением Маколея на \(1 + y/m\) и напрямую показывает процентное изменение цены при изменении доходности на 1%.

Другие сопутствующие инструменты:

Калькуляторы облигаций:

• Калькулятор эквивалентной доходности облигаций
• Калькулятор доходности облигаций
• Калькулятор доходности облигаций к погашению
• Калькулятор нулевого купона
• Калькулятор выпуклости облигаций Новый
• Калькулятор дюрации облигаций (Маколея и модифицированной) Новый
• Калькулятор казначейских облигаций с защитой от инфляции (TIPS) Новый