Калькулятор Биссектрисы Угла

Рассчитайте биссектрисы углов треугольника. Введите три стороны или координаты трех вершин, чтобы найти длину биссектрис, точки деления на противоположных сторонах, инцентр, радиус вписанной окружности и просмотреть интерактивную диаграмму с пошаговыми формулами.

Embed Калькулятор Биссектрисы Угла Widget

О Калькулятор Биссектрисы Угла

Калькулятор Биссектрисы Угла вычисляет биссектрисы любого треугольника. Введите длины трех сторон или координаты трех вершин, и калькулятор найдет длины всех трех биссектрис, точки пересечения каждой биссектрисы с противоположной стороной, инцентр, радиус вписанной окружности и отобразит интерактивную диаграмму. Все вычисления включают пошаговые формулы MathJax.

∠

Биссектриса угла

Отрезок от вершины к противоположной стороне, делящий угол на две равные части.

◉

Инцентр

Точка пересечения всех трех биссектрис. Это центр вписанной окружности.

⊙

Радиус вписанной окр.

Радиус вписанной окружности, равный площади, деленной на полупериметр: r = K/s.

⚖

Теорема о биссектрисе

Биссектриса из A делит сторону BC в отношении AB:AC = c:b (пропорционально прилежащим сторонам).

Формулы биссектрисы угла

Свойство	Формула	Описание
Длина биссектрисы (из A)	\( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \)	Длина биссектрисы угла из вершины A к стороне BC
Альтернативная формула	\( t_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 - a^2]}}{b+c} \)	Использует только длины сторон, тригонометрия не требуется
Теорема о биссектрисе	\( \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} = \frac{AB}{AC} \)	Коэффициент деления противоположной стороны биссектрисой
Отрезок деления	\( BD = \frac{ac}{b+c} \)	Расстояние от B до точки деления D на BC
Инцентр	\( I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c} \)	Средневзвешенное значение вершин с использованием длин противоположных сторон
Радиус вписанной окружности	\( r = \frac{K}{s} \)	Площадь K, деленная на полупериметр s

Как пользоваться этим калькулятором

Выберите режим ввода: Выберите «Три стороны», если вам известны a, b, c, или «Три вершины», если у вас есть координаты.
Введите значения: Введите длины трех сторон или координаты (x, y) для каждой вершины. Используйте кнопки примеров, чтобы попробовать готовые треугольники.
Нажмите Рассчитать: Нажмите кнопку «Рассчитать биссектрисы угла», чтобы увидеть результаты.
Изучите диаграмму: Переключайте слои (биссектрисы, точки деления, вписанная окружность, дуги углов, метки), чтобы сосредоточиться на конкретных свойствах.
Просмотрите формулы: Прокрутите вниз к пошаговому решению, чтобы увидеть каждую формулу с подставленными значениями.

Понимание теоремы о биссектрисе угла

Теорема о биссектрисе угла является одним из фундаментальных результатов в геометрии треугольника. Она гласит, что если луч делит угол треугольника пополам, то он делит противоположную сторону на два отрезка, которые пропорциональны двум другим сторонам. В частности, если биссектриса из вершины A пересекает сторону BC в точке D, то BD/DC = AB/AC = c/b.

Эта теорема имеет множество практических применений: она используется при построении треугольников, при доказательстве свойств вписанной окружности и в задачах координатной геометрии. Формула длины биссектрисы угла \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) может быть выведена путем применения теоремы косинусов к двум подтреугольникам, образованным биссектрисой.

Свойства биссектрис углов

Каждый треугольник имеет ровно три внутренние биссектрисы углов.
Все три биссектрисы углов всегда пересекаются в одной точке, называемой инцентром.
Инцентр всегда расположен внутри треугольника, независимо от его типа.
Инцентр равноудален от всех трех сторон, и это расстояние является радиусом вписанной окружности.
В равностороннем треугольнике каждая биссектриса угла также служит медианой, высотой и серединным перпендикуляром.
Самая длинная биссектриса угла всегда выходит из вершины с наименьшим углом.
Длина биссектрисы всегда меньше или равна среднему геометрическому двух прилежащих сторон.

Часто задаваемые вопросы

Что такое биссектриса угла треугольника?

Биссектриса угла — это отрезок из вершины к противоположной стороне, который делит угол вершины на две равные половины. Каждый треугольник имеет три биссектрисы угла, и все они пересекаются в одной точке, называемой инцентром, который является центром вписанной окружности (incircle).

Как рассчитать длину биссектрисы угла?

Длина биссектрисы угла из вершины A к стороне BC определяется по формуле: t_a = (2bc × cos(A/2)) / (b + c), где b и c — стороны, прилегающие к углу A. Альтернативная формула, использующая только длины сторон: t_a = √(bc[(b+c)² − a²]) / (b + c).

В чем заключается теорема о биссектрисе угла?

Теорема о биссектрисе угла гласит, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, пропорциональных прилежащим сторонам. Для биссектрисы из A к стороне BC в точке D: BD/DC = AB/AC = c/b. Это фундаментальная теорема, используемая во многих геометрических доказательствах и построениях.

Где пересекаются три биссектрисы треугольника?

Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой инцентром, обозначаемой I. Инцентр является центром вписанной окружности (incircle) и всегда находится внутри треугольника, независимо от того, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

В чем разница между биссектрисой угла и серединным перпендикуляром?

Биссектриса угла делит угол на две равные части и идет от вершины к противоположной стороне. Серединный перпендикуляр делит сторону на две равные части под углом 90°. Три биссектрисы угла пересекаются в инцентре (центре вписанной окружности), тогда как три серединных перпендикуляра пересекаются в центре описанной окружности (circumcenter).

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор Биссектрисы Угла" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-биссектрисы-угла/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

командой miniwebtool. Обновлено: 2026-04-03

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.