Как определить, является ли граф ориентированным по его матрице смежности?

Если матрица смежности симметрична (A[i][j] равно A[j][i] для каждой пары индексов), граф является неориентированным. Если есть хотя бы одна пара, где A[i][j] отличается от A[j][i], граф ориентированный. Этот калькулятор автоматически выполняет проверку симметрии при выборе опции 'Автоопределение'.

Что представляет собой k-я степень матрицы смежности?

Элемент (i, j) матрицы A^k подсчитывает количество путей ровно длины k из вершины i в вершину j. Например, A^2[i][j] — это количество двухшаговых путей, что в неориентированных графах равно количеству общих соседей между i и j. Это свойство используется в алгоритмах подсчета треугольников, достижимости и вычислениях типа PageRank.

Чем матрица смежности отличается от списка смежности?

Матрица смежности хранит связи для каждой пары вершин, используя n² бит, что делает поиск соседа O(1), но использование памяти — O(n²). Список смежности хранит только фактических соседей каждой вершины, требуя O(n + m) памяти, что намного меньше для разреженных графов, но поиск соседа требует линейного сканирования. Матрицы лучше подходят для плотных графов и алгебраических операций; списки лучше для разреженных графов и алгоритмов обхода, таких как BFS/DFS.

Может ли этот инструмент работать с взвешенными графами?

Данный калькулятор ориентирован на невзвешенные матрицы смежности с записями 0/1. Если вы вставите матрицу с ненулевыми числовыми весами, каждая ненулевая ячейка будет рассматриваться как 1 для структурного анализа. Для вычислений во взвешенных графах, таких как поиск кратчайшего пути, рассмотрите специализированный инструмент для взвешенных графов.

Калькулятор матрицы смежности

Конвертируйте между матрицей смежности, списком ребер и списком смежности. Определяет тип графа, вычисляет степени вершин, плотность, компоненты связности и степени матрицы — с интерактивной SVG-визуализацией.

БесплатноБез регистрацииМгновенный результат

Калькулятор матрицы смежностиПопробуйте — бесплатно ▼

Быстрые примеры:

Треугольник с хвостом (неор.) Ориентированный цикл K4 (сп. смежности) Матрица 4×4 Числовые метки

↔ Список ребер ☰ Список смежности ▦ Матрица смежности

Данные графа

Принимает A-B, A->B, A B, A,B или строки матрицы как 0 1 1 0. Используйте буквы, цифры или подчеркивания для меток вершин.

Метки матрицы (опционально)

Метки через запятую или пробел, по одной на строку матрицы. По умолчанию: A, B, C...

Тип графа

Embed Калькулятор матрицы смежности Widget

О Калькулятор матрицы смежности

Калькулятор матрицы смежности — это инструмент теории графов, который конвертирует между тремя каноническими представлениями графов: матрицей смежности, списком ребер и списком смежности, и обогащает результат структурным анализом: последовательностью степеней, плотностью графа, компонентами связности и степенями матрицы. Он автоматически определяет, описывает ли ввод ориентированный или неориентированный граф, и создает живую SVG-визуализацию для каждого результата.

Что такое матрица смежности?

Для графа G = (V, E) с n вершинами его матрица смежности представляет собой квадратную матрицу n × n A, чей элемент A[i][j] равен 1, если существует ребро из вершины i в вершину j, и 0 в противном случае.

A[i][j] = 1 если (v_i, v_j) ∈ E , иначе 0

Для неориентированного графа матрица смежности всегда симметрична: каждое ребро {u, v} вносит вклад как в A[u][v] = 1, так и в A[v][u] = 1. Для ориентированного графа (орграфа) матрица может быть асимметричной, отражая направление каждой дуги.

Три представления — выберите подходящее

Представление	Память	Поиск ребра	Список соседей	Лучше всего для
Матрица смежности	Θ(n²)	O(1)	Θ(n)	Плотных графов; матричной алгебры (степени, собственные числа)
Список смежности	Θ(n + m)	O(deg v)	Θ(deg v)	Разреженных графов; алгоритмов BFS/DFS и поиска кратчайшего пути
Список ребер	Θ(m)	Θ(m)	Θ(m)	Ввода/вывода, алгоритма Краскала (MST), реберно-ориентированных алгоритмов

Рассчитанные ключевые показатели

Последовательность степеней

Для неориентированных графов степень вершины — это количество инцидентных ей ребер (петли считаются дважды). Для ориентированных графов каждая вершина имеет полустепень захода (входящие дуги) и полустепень исхода (исходящие дуги). Отсортированный список степеней является классическим инвариантом графа, используемым при проверке на изоморфизм и в теореме Эрдёша — Галлаи.

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2m (неор.) Σ in-deg(v) = Σ out-deg(v) = m (ориент.)

Плотность графа

Плотность измеряет, насколько «заполнен» граф относительно максимально возможного количества ребер для n вершин.

Неориентированный: D = 2m / (n(n−1)) Ориентированный: D = m / (n(n−1))

Плотность 0 означает отсутствие ребер, 1 — полный граф. Значения ниже 0.1 обычно указывают на разреженный граф, где список смежности эффективнее матрицы по памяти.

Компоненты связности

Компонента связности — это максимальное подмножество вершин, в котором любая пара вершин соединена путем. Для ориентированных графов калькулятор сообщает о компонентах слабой связности (игнорируя направление стрелок) — это те же подмножества, которые получились бы, если бы каждая дуга считалась неориентированным ребром.

Степени матрицы (A², A³ ... )

Фундаментальная теорема алгебраической теории графов утверждает, что элемент (i, j) матрицы A^k равен количеству путей длиной ровно k из вершины i в вершину j. Следовательно:

A²[i][i] равен степени вершины i (в неор. графе), так как путь длиной 2 из i в себя — это «переход к соседу и обратно».
След матрицы A³, деленный на 6, показывает количество треугольников в неориентированном графе.
Наличие нулевых элементов в Aⁿ⁻¹ говорит о том, является ли граф связным.

Поддерживаемые форматы ввода

1. Список ребер

Одно ребро в строке или через запятую. Работают любые разделители: A-B, A B, A,B, A->B, A--B. Используйте ->, если хотите принудительно задать ориентированное ребро.

A-B, B-C, C-A, C-D (неор. цикл из 4 вершин с хвостом) A->B, B->C, C->D, D->A (ориентированный цикл длины 4)

2. Список смежности

Одна строка на вершину в формате вершина: сосед1, сосед2, .... Порядок не важен; недостающие вершины добавляются автоматически из списков соседей.

A: B, C, D B: A, C C: A, B, D D: A, C

3. Матрица смежности

Одна строка на линию с разделенными пробелом или запятой значениями 0/1. Матрица должна быть квадратной. Вы можете указать свои метки в поле «Метки матрицы» (иначе используются A, B, C…).

0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0

Как пользоваться этим калькулятором

Выберите формат ввода с помощью вкладок: список ребер, список смежности или матрица смежности.
Вставьте или введите ваш граф в текстовое поле. Для матрицы добавьте необязательные метки в соответствующее поле.
Выберите тип графа — оставьте «Автоопределение», и калькулятор определит ориентированность по стрелкам (->) или симметрии матрицы. Выберите «Ориентированный» или «Неориентированный» вручную для переопределения.
Нажмите «Конвертировать и анализировать граф». На странице результатов отобразится матрица смежности, интерактивный SVG-рисунок, другие текстовые представления, статистика степеней, компоненты связности и матрицы путей A² и A³ (для графов подходящего размера).
Наведите на строку матрицы или узел графа, чтобы подсветить соответствующие данные — наглядное доказательство того, что каждый формат кодирует одну и ту же информацию.

Пример работы

Рассмотрим неориентированный граф на вершинах {A, B, C, D} с ребрами AB, BC, CA, CD. Матрица смежности:

A B C D A [ 0 1 1 0 ] B [ 1 0 1 0 ] C [ 1 1 0 1 ] D [ 0 0 1 0 ]

Ключевые факты, которые выводит калькулятор:

Симметрична? Да — подтверждает неориентированность.
Последовательность степеней: (3, 2, 2, 1) — вершина C является центром.
Плотность: 2·4 / (4·3) = 0.667 — умеренно плотный граф.
Связный? Да, одна компонента.
Треугольники: ровно один (A–B–C), что подтверждается tr(A³) = 6.

Типовые области применения

Анализ социальных сетей — графы друзей/подписчиков, центральность.
Веб-графы и графы цитирования — PageRank и HITS работают напрямую с A и A^T.
Маршрутизация и сети — кратчайший путь, минимальный разрез, максимальный поток.
Химия — молекулярные графы, где атомы — вершины, а связи — ребра.
Планирование и разрешение зависимостей — направленные ациклические графы (DAG) в системах сборки.
Цепи Маркова — стохастические матрицы, производные от графов, кодируют вероятности переходов.

Часто задаваемые вопросы

Что такое матрица смежности?

Матрица смежности — это квадратная матрица n × n, используемая для представления конечного графа. Каждая ячейка A[i][j] равна 1, если существует ребро из вершины i в вершину j, и 0 в противном случае. Для неориентированных графов матрица симметрична (A[i][j] = A[j][i]). Матрица позволяет мгновенно проверять наличие связи и использовать алгебраические методы для анализа графа.

Как понять, является ли граф ориентированным по матрице?

Если матрица симметрична (A[i][j] = A[j][i] для всех индексов), граф неориентированный. Если есть хотя бы одно различие, граф ориентированный. Калькулятор делает эту проверку автоматически.

Что показывает k-я степень матрицы смежности?

Элемент (i, j) матрицы A^k — это число путей длиной k из i в j. Например, A²[i][j] — это количество общих соседей для i и j в неориентированных графах. Это полезно для поиска циклов, треугольников и в алгоритмах достижимости.

Что такое плотность графа?

Это отношение числа имеющихся ребер к максимально возможному числу ребер. Плотность 0 — пустой граф, 1 — полный граф. Помогает определить, какой способ хранения данных (матрица или список) будет эффективнее.

В чем разница между матрицей и списком смежности?

Матрица занимает n² места и идеальна для плотных графов и математических операций. Список смежности занимает n + m места, что гораздо эффективнее для разреженных графов, и лучше подходит для алгоритмов обхода (BFS, DFS).

Поддерживает ли этот инструмент взвешенные графы?

На данный момент калькулятор работает с невзвешенными графами (0 или 1). Любое ненулевое число при вводе матрицы будет считаться за 1 (наличие связи) для структурного анализа.

Дополнительная литература

Ссылайтесь на этот контент, страницу или инструмент так:

"Калькулятор матрицы смежности" на сайте https://ru.miniWebtool.com/калькулятор-матрицы-смежности/ от MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

от команды miniwebtool. Обновлено: 20 апр. 2026 г.

Вы также можете попробовать наш AI Решатель Математических Задач GPT, чтобы решить ваши математические проблемы с помощью вопросов и ответов на естественном языке.

Калькулятор матрицы смежности

О Калькулятор матрицы смежности

Что такое матрица смежности?

Три представления — выберите подходящее

Рассчитанные ключевые показатели

Последовательность степеней

Плотность графа

Компоненты связности

Степени матрицы (A², A³ ... )

Поддерживаемые форматы ввода

1. Список ребер

2. Список смежности

3. Матрица смежности

Как пользоваться этим калькулятором

Пример работы

Типовые области применения

Часто задаваемые вопросы

Что такое матрица смежности?

Как понять, является ли граф ориентированным по матрице?

Что показывает k-я степень матрицы смежности?

Что такое плотность графа?

В чем разница между матрицей и списком смежности?

Поддерживает ли этот инструмент взвешенные графы?

Дополнительная литература

Продвинутые математические операции:

Популярные и обновлённые инструменты:

Скачайте всё одним ZIP-архивом с Pro