Калькулятор уравнения сферы

Добро пожаловать в Калькулятор уравнения сферы — комплексный инструмент 3D-геометрии для нахождения стандартного и общего уравнения сферы. Если вам известны координаты центра и радиус или две конечные точки диаметра, этот калькулятор предоставит пошаговый вывод, интерактивную 3D-визуализацию и полные геометрические свойства, включая площадь поверхности и объем.

Что такое уравнение сферы?

Сфера — это совокупность всех точек трехмерного пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром. Постоянное расстояние называется радиусом. Уравнение сферы является трехмерным расширением уравнения круга с добавлением переменной третьей координаты.

Стандартная форма (уравнение через центр и радиус)

Стандартное уравнение сферы с центром \((a, b, c)\) и радиусом \(r\) имеет вид:

Где:

• \((a, b, c)\) — центр сферы
• \(r\) — радиус (положительное действительное число)
• \((x, y, z)\) — любая точка на поверхности сферы

Общая форма (развернутая форма)

Раскрытие скобок в стандартной форме дает общее уравнение:

Где:

• \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = -2c\)
• \(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\)
• Центр: \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}, -\frac{F}{2}\right)\)
• Радиус: \(r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} + \frac{F^2}{4} - G}\)

Как найти уравнение сферы по концам диаметра

Если известны две конечные точки \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) и \(P_2(x_2, y_2, z_2)\) диаметра:

1. Найдите центр (середина диаметра): $$C = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2},\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$
2. Найдите радиус (половина длины диаметра): $$r = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
3. Запишите уравнение, подставив центр и радиус в стандартную форму.

Сфера против круга: ключевые различия

Как пользоваться этим калькулятором

1. Выберите режим ввода: выберите «Центр и радиус», если вам известны точка центра и радиус, или «Две конечные точки диаметра», если известны две диаметрально противоположные точки.
2. Введите значения: заполните поля координат. Используйте кнопки быстрых примеров, чтобы увидеть инструмент в действии.
3. Установите точность: выберите количество знаков после запятой (2–15) для результатов.
4. Рассчитать: нажмите «Рассчитать уравнение сферы», чтобы получить стандартное уравнение, общее уравнение, пошаговый вывод, геометрические свойства и интерактивную 3D-визуализацию.

Рассчитываемые геометрические свойства

• Площадь поверхности: \(A = 4\pi r^2\) — общая площадь внешней поверхности сферы
• Объем: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) — пространство, ограниченное сферой
• Диаметр: \(d = 2r\) — самая длинная хорда, проходящая через центр
• Длина большой окружности: \(C = 2\pi r\) — длина окружности наибольшего сечения

Практическое применение

Физика и инженерия

Уравнения сфер моделируют небесные тела, пузырьки, сосуды под давлением и электромагнитные поля. Уравнение помогает вычислять расстояния, пересечения и проверки на вхождение в 3D-симуляциях.

Компьютерная графика и разработка игр

Уравнения сфер используются для ограничивающих объемов при обнаружении столкновений, тестов пересечения луча со сферой при трассировке лучей и процедурной генерации ландшафта.

География и навигация

Земля аппроксимируется сферой для многих расчетов. Уравнение сферы помогает в преобразовании координат GPS и вычислении орбит спутников.

Архитектура и дизайн

Купольные конструкции, планетарии и геодезические проекты опираются на геометрию сферы. Архитекторы используют уравнения сфер для расчета конструктивных размеров и потребности в материалах.

Часто задаваемые вопросы

Каково стандартное уравнение сферы?

Стандартное уравнение сферы с центром \((a, b, c)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\). Это уравнение представляет все точки в 3D-пространстве, находящиеся ровно на расстоянии \(r\) от центральной точки.

Как найти уравнение сферы по двум конечным точкам диаметра?

При наличии двух конечных точек \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) и \(P_2(x_2, y_2, z_2)\): найдите центр как середину отрезка, вычислите радиус как половину расстояния между точками и подставьте значения в стандартную форму.

Что такое общая форма уравнения сферы?

Общая форма: \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\), где \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = -2c\) и \(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\). Центр находится в точке \((-D/2, -E/2, -F/2)\), а радиус \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\).

В чем разница между уравнением сферы и круга?

Уравнение круга \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) задается в 2D с центром \((h, k)\). Уравнение сферы добавляет третий член для координаты z. Сфера — это 3D-обобщение круга.

Как найти центр и радиус из общего уравнения?

Из уравнения \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\) центр — это \((-D/2, -E/2, -F/2)\), а радиус \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\). Для того чтобы сфера была действительной, выражение под квадратным корнем должно быть положительным.

Дополнительные ресурсы

• Сфера — Википедия
• n-сфера (многомерные обобщения) — Википедия