Калькулятор ранга матрицы

Добро пожаловать в Калькулятор ранга матрицы — комплексный инструмент линейной алгебры, который определяет ранг любой матрицы методом исключения Гаусса. Ранг матрицы — это максимальное количество линейно независимых векторов-строк или векторов-столбцов. Это фундаментальное понятие, которое определяет, имеют ли системы уравнений решения, являются ли преобразования обратимыми и как можно сжимать данные. Этот калькулятор обеспечивает пошаговое приведение строк, анализ опорных элементов, вычисление ядра (нуль-пространства), визуальные тепловые карты и проверку с помощью теоремы о ранге и дефекте.

Что такое ранг матрицы?

Ранг матрицы A определяется как:

Эквивалентно ранг — это:

• Количество опорных позиций в ступенчатом виде матрицы A
• Размерность пространства столбцов (образа) матрицы A
• Размерность пространства строк матрицы A
• Количество ненулевых сингулярных чисел матрицы A
• Размер наибольшего ненулевого минора (определителя квадратной подматрицы)

Для матрицы размера m×n ранг удовлетворяет условию \(0 \leq \text{rank}(A) \leq \min(m, n)\).

Как метод исключения Гаусса определяет ранг

Исключение Гаусса (также называемое приведением строк) преобразует матрицу в ступенчатый вид (REF) с помощью трех элементарных преобразований строк:

1. Перестановка строк: обмен местами двух строк (\(R_i \leftrightarrow R_j\))
2. Масштабирование строки: умножение строки на ненулевой скаляр (\(R_i \leftarrow c \cdot R_i\))
3. Сложение строк: добавление к одной строке другой строки, умноженной на число (\(R_i \leftarrow R_i + c \cdot R_j\))

В ступенчатом виде:

• Все нулевые строки находятся внизу
• Ведущий элемент (опорный элемент) каждой ненулевой строки находится правее опорного элемента над ним
• Ранг равен количеству ненулевых строк (опорных элементов) в ступенчатом виде (REF)

Этот калькулятор использует частичный выбор опорного элемента — выбор наибольшего абсолютного значения в каждом столбце в качестве опорного — для повышения численной устойчивости.

Теорема о ранге и дефекте

Где n — количество столбцов матрицы A. Дефект (nullity) — это размерность ядра (нуль-пространства) — множества всех решений уравнения Ax = 0. Эта теорема означает, что столбцы являются либо опорными столбцами (вносящими вклад в ранг), либо свободными столбцами (вносящими вклад в дефект), и каждый столбец относится к одной из этих двух категорий.

Ранг и системы линейных уравнений

Ранг матрицы напрямую определяет разрешимость линейной системы Ax = b:

Особые случаи и свойства

Полный ранг

Матрица имеет полный ранг, когда rank(A) = min(m, n):

• Для квадратных n×n матриц: полный ранг означает обратимость (det ≠ 0), тривиальное ядро
• Для «высоких» матриц (m > n): полный ранг по столбцам означает инъективность (однозначность)
• Для «широких» матриц (m < n): полный ранг по строкам означает сюръективность (отображение «на»)

Матрицы неполного ранга

Если rank(A) < min(m, n), матрица имеет неполный ранг (вырожденная для квадратных матриц). Это происходит, когда строки или столбцы линейно зависимы — некоторые строки могут быть выражены как комбинации других.

Ключевые тождества ранга

• rank(A) = rank(A^T) — ранг по строкам равен рангу по столбцам
• rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) — предел ранга произведения
• rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) — субаддитивность
• rank(A^TA) = rank(AA^T) = rank(A)

Ранг матрицы в различных областях

Часто задаваемые вопросы

Что такое ранг матрицы?

Ранг матрицы — это максимальное количество линейно независимых векторов строк (или, что эквивалентно, векторов столбцов) в матрице. Он показывает размерность пространства столбцов (или пространства строк). Для матрицы m×n ранг составляет максимум min(m, n). Матрица с рангом, равным min(m, n), называется матрицей полного ранга.

Как вычисляется ранг матрицы методом Гаусса?

Метод Гаусса преобразует матрицу в ступенчатый вид (REF) путем выполнения элементарных операций над строками: перестановки строк, умножения строки на ненулевое число и добавления к одной строке другой строки, умноженной на число. Ранг равен количеству ненулевых строк (что эквивалентно количеству опорных позиций) в REF. Этот метод является стандартным алгоритмическим подходом, изучаемым в курсах линейной алгебры.

Что такое теорема о ранге и дефекте?

Теорема о ранге и дефекте гласит, что для любой матрицы A размера m×n справедливо равенство: rank(A) + nullity(A) = n, где n — количество столбцов. Дефект (nullity) — это размерность ядра матрицы (множество всех векторов x, таких что Ax = 0). Эта фундаментальная теорема связывает размерности пространства столбцов и ядра.

Когда матрица имеет полный ранг?

Матрица имеет полный ранг, когда ее ранг равен min(m, n), то есть меньшему из значений количества ее строк и столбцов. Для квадратной матрицы n×n полный ранг означает rank = n, что подразумевает, что матрица обратима (невырожденная) с ненулевым определителем. Матрицы полного ранга имеют тривиальные ядра (только нулевой вектор), а их столбцы линейно независимы.

В чем разница между рангом по строкам и рангом по столбцам?

Фундаментальная теорема линейной алгебры доказывает, что ранг по строкам (размерность пространства строк) всегда равен рангу по столбцам (размерность пространства столбцов) для любой матрицы. Это общее значение просто называется рангом матрицы. Метод Гаусса позволяет напрямую определить ранг по строкам путем подсчета опорных строк, но это же число дает и ранг по столбцам.

Как ранг матрицы связан с системами линейных уравнений?

Для системы Ax = b ранг определяет разрешимость: если rank(A) = rank([A|b]), система совместна (имеет решения). Если дополнительно rank(A) = n (количество неизвестных), решение единственно. Если rank(A) < n, существует бесконечно много решений, параметризованных n - rank(A) свободными переменными. Теорема Кронекера-Капелли формализует эти условия.

Дополнительные ресурсы

• Ранг матрицы - Википедия
• Метод Гаусса - Википедия
• Теорема о ранге и дефекте - Википедия